为什么负梯度方向函数下降最快？

什么是梯度？

首先梯度是一个向量，其次梯度是多元函数对各个分量求偏导数得到的向量，但是这里很容易和切向量混淆。切向量是对各个分量对共同的自变量求偏导，这是不同之处。

 

为什么梯度垂直于切平面？

首先引入等值面的概念，对于函数W，比如说W = c的所有解是一个等值面。

在c等值面上假设任意一条曲线$\vec r = \vec r (t)$，其中$\vec v = \frac{dr}{dt} $是曲线的切向量方向, 因为每个分量对t求偏导就得到切向量。

那么根据链式法则，对t求导

$$\frac{dW}{dt} =\nabla W * \frac{dr}{dt} $$

因为W = c， 等式左边为0，所以有$\nabla W * v = 0$，即某点上的梯度与任意切线垂直，也就与切平面垂直。

 

为什么负梯度方向函数下降最快？

首先定义任意一个方向向量$\vec u$，如果函数W在u方向取一个截面，那么问题转化为对于某一个点，哪个截面的曲线下降最快？

对于每个截面的自变量向量$\vec r = \vec r (s)$，s是在这个方向上的步长，有$\vec r (s) = \vec r_{0} + s * \vec u$，所以$\frac {dr}{ds} =\vec u$

同样地通过链式法则，W在u方向对s求导

$$\frac{dW}{ds_{u}} =\nabla W * \frac{dr}{ds} $$

于是

$$\frac{dW}{ds_{u}} =\nabla W * \vec u $$

通过向量点乘公式

$$\frac{dW}{ds_{u}} =||\nabla W|| * ||\vec u|| cos\theta $$

$\vec u$为单位向量，模长为1

$$\frac{dW}{ds_{u}} =||\nabla W|| * cos\theta $$

也就是说，W在任一方向的导数就是梯度在这个方向的投影的长度，所以导数最大的方向就是在梯度方向，反之在负梯度方向导数最小

 

参考：

1. https://blog.csdn.net/silence1214/article/details/8875809