关于二项式反演的一些思考

关于二项式反演的一些思考

今天T2考了二项式反演，转化之后要求的是n个非负整数的和为m，求其中有至少k个数\(\geq l\)的方案数。

感觉是二项式反演，然后一看题解——至少是恰好的后缀和，仔细想想也没什么问题。可之前看的二项式反演博客里至少和恰好都是这样的关系：

\[f(i)_\text{至少}=\sum_{j\geq i}^n {j\choose i} g(j)_\text{恰好} \]

想了一会之后发现，二项式反演的“至少“不太像”至少"，而应该是”钦定“的关系。在这道题中，\(k+1\)个数\(\geq l\)的方案减去\(k\)个\(l\)成为被组合数统计的非负整数插板，就有\(k+1\choose k\)种情况。由于一种方案可能有多种钦定情况，也就不是后缀和而是二项式反演的组合数加权和形式。

所以应该是

\[f(i)_\text{钦定}=\sum_{j\geq i}^n {j\choose i} g(j)_\text{恰好} \]