湖南师大附中计数课件总结

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计数 湖南师大附中课件总结

容斥

一般形式

\[\begin{array}{c} \left|S_{1} \cup S_{2} \cdots \cup S_{n}\right|=\sum_{i}\left|S_{i}\right|-\sum_{i<j}\left|S_{i_{1}} \cap S_{i_{2}}\right|+\sum_{i<j<k}\left|S_{i} \cap S_{j} \cap S_{k}\right|+ \cdots+(-1)^{n}\left|S_{1} \cap S_{2} \cdots \cap S_{n}\right| \end{array} \]

比如算满足一些条件，可以容斥算不满足某个集合的条件

推广

对两个关于集合的函数 \(g(S), f(S)\) ，

如果 \(g(S)=\sum_{T \subseteq S} f(T),\) 那么 \(f(S)=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|S|-|T|} g(T)\)

如果 \(g(S)=\sum_{T \supseteq S} f(T),\) 那么 \(f(S)=\sum_{T \supseteq S}(-1)^{|S|-|T|} g(T)\)

例题

HAOI2008 硬币购物

做过，只说下大概思路

设 \(f(S)\) 为只有 \(S\) 中的硬币超过了限制的方案数，\(g(S)\) 为 \(S\) 中 的硬币超过了限制 (其它的任意) 的方案数。

那么 \(g(S)=\sum_{T \supseteq S} f(T)\)， 我们要求的就是 \(f(\emptyset)\)

游戏

题意：

有一个 \(N\) 个点的无向完全图和 \(M\) 中颜色, 图 \(G\) 的价值 \(f(G)\) 为使得同一个联通块的点颜色相同的染色方案数。

求 \(\sum_{S \subseteq E, S \neq 0}(-1)^{|S|-1} f(G(S))\)

\(E\) 为边集, \(S\) 取遍 \(E\) 的所有非空子集, \(G(S)\) 为 \(S\) 中的边构成的图 \(N, M \leq 10^{6}\)

设\(H(x)\)表示满足条件x的染色方案，注意x是任意一个条件，不是变量

则有\(f(G(S))=|\bigcap_{e\in S}H(e_x=e_y)|\)

设\(P(e)=[e_x=e_y]\)

\[\begin{align} ans&=\sum_{S\subseteq E,S\not =\emptyset} (-1)^{|S|-1} |H(P_{S_1})\cap H(P_{S_2})\cap \cdots \cap H(P_{S_{|S|}})| \\&= \sum_{i}\left|H\left(P_{i}\right)\right|-\sum_{i<j}\left|H\left(P_{i}\right) \cap H\left(P_{j}\right)\right|+\cdots(-1)^{|E|-1}\left|H\left(P_{1}\right) \cap H\left(P_{2}\right) \cdots H\left(P_{|E|}\right)\right| \\&=|\bigcup_{e\in E}H(P_e)| \end{align} \]

就是至少有两个点相同的方案数，\(M^N-\prod _{i=1}^N(M-i+1)\)（总方案数-都不相同）

二项式反演

见之前写的复习博客

斯特林数

详见WC集训笔记，这个课件上也没讲啥多的

图的价值

给出 \(n\) 和 \(k,\) 定义一个简单无向图的价值为每个点度数的 \(k\) 次方模 \(998244353\) 的结果。

\(1 \leq n \leq 10^{9}, 1 \leq k \leq 200000\)

考虑一个点的贡献，

\[\sum_{d=0}^{n-1}d^k {n-1\choose d}2^{{n-1\choose 2}} \]

由于

\[x^{n}=\sum_{k=0}^{x}\left\{\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right\} x^{k} \]

所以

\[ans=\sum_{d=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c} n-1 \\ d \end{array}\right) \cdot \sum_{x=0}^{d}\left\{\begin{array}{l} k \\ x \end{array}\right\} d^{x} \]

\[\begin{aligned} \sum_{d=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c} n-1 \\ d \end{array}\right) \cdot \sum_{x=0}^{d}\left\{\begin{array}{c} k \\ x \end{array}\right\} d^{\underline x} &=\sum_{d=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c} n-1 \\ d \end{array}\right) \cdot \sum_{x=0}^{d}\left\{\begin{array}{c} k \\ x \end{array}\right\}\left(\begin{array}{c} d \\ x \end{array}\right) x ! \\ &=\sum_{x=0}^{n-1}\left\{\begin{array}{c} k \\ x \end{array}\right\} x ! \cdot \sum_{d=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c} n-1 \\ d \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} d \\ x \end{array}\right) \\ &=\sum_{x=0}^{n-1}\left\{\begin{array}{c} k \\ x \end{array}\right\} x ! \cdot\left(\begin{array}{c} n-1 \\ x \end{array}\right) \cdot 2^{n-x-1} \end{aligned} \]

这个式子的上下界其实没有必要纠结...因为d<x的时候自动就等于0了

式子的后面部分的组合意义是现在 𝑛 − 1 个数中选 𝑑 个, 再在这 𝑑 个中选 𝑥 个, 相当于先选 𝑥 个, 其他的任意。

那么我们要求出一行第二类斯特林数

枚举空盒，有容斥式子：

\[\left\{\begin{array}{l} n \\ m \end{array}\right\}=\frac{1}{m !} \cdot \sum_{i=0}^{m}(-1)^{i}\left(\begin{array}{c} m \\ i \end{array}\right)(m-i)^{n} \]

就可以NTT了。

DP套DP

对于一个可以用 DP 解决的问题，我们要求有多少中输入使得这个问题的答案为 𝐴。

做法是在原 DP 的基础上暴力加上一维来记录每个状态的 DP 值, 并统计在这种情况下的方案数。

Hero meet devil

经典老题，做过但是没写总结

给一个由 𝐴𝐺𝐶𝑇 组成的字符串 𝑆, 对于每个 1 ≤ 𝑖 ≤ |𝑆|, 问有多 少个只由 𝐴𝐺𝐶𝑇 组成的长度为 𝑚 的串 𝑇 , 使得 𝑆 和 𝑇 的最长公 共子序列为 𝑖。

\(|𝑆| ≤ 15, 1 ≤ 𝑚 ≤ 1000\)

\(0 ≤ 𝑓(𝑖, 𝑗) − 𝑓(𝑖, 𝑗 − 1) ≤ 1\), 于是可以记录 \(𝑓(𝑖, 𝑗)\) 差分的结果作为状态。

设\(f[i][S]\)表示在第 \(i\) 个位置，差分状态为 \(j\) 的方案数，预处理S选择下一个字母的转移即可。

Number

给出 \(T, A, B, C, D,\) 求对于所有 \(A \leq x \leq B, C \leq y \leq D, x \& y=T\)，\(x | y\) 有多少种不同的取值。

\(0 \leq T, A, B, C, D \leq 2^{60}\)

显然知道x就可以通过T求y，那么记录一下xy与ABCD的相对关系就可以按位dp了。

所以跟dp套dp有什么关系啊

Burnside引理与pólya定理

置换

置换 \(\sigma\) 是一个从集合 1, \(2, \cdots, n\) 到自身的一一映射

\( \sigma=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} \end{array}\right) \)

其中 \(a\) 是一个排列。

置换可以做乘法, 如 \(\left(\begin{array}{c}a \\ b\end{array}\right) *\left(\begin{array}{c}b \\ c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a \\ c\end{array}\right)\)

置换群

置换群 𝐺 是一个置换的集合, 并且满足以下条件:

  1. 封闭性
  2. 结合律
  3. 存在唯一单位元
  4. 存在唯一逆元

染色与等价

有任意置换能使一种染色方案变成另一种时，我们称其等价。

也就是\(\exist f \in G,f*c=d\)，c和d等价。

Burnside 引理

定义 \(C(𝑓)\) 为在置换 \(𝑓\) 的作用下不动点的集合

\(N(G)=\frac 1 {|G|}\sum_{f\in G}|C(f)|\)

即等价类数为不动点的平均值。

pólya定理

在一个有k个循环（轮换）的置换\(f\)中，显然同一循环节要染同一颜色，不同循环节则不影响，那么本质不同的方案数为

\[N(G)=\frac{\sum_{i}^{|G|} m^{c_i}}{|G|} \]

其中\(c_i\)是\(f_i\)的循环个数

好！

后记

还有模拟赛要打，就先这么多...

本来想看看课件后面的题，结果开 幕 雷 击给我整个不可做题

posted @ 2020-05-21 08:46  lcyfrog  阅读(264)  评论(0)    收藏  举报