最小割的数学模型
最小割的数学模型
今天听敦敦敦的课总结一下...
前置芝士：网络流，最小割
引入：最短路的数学形式
松弛操作：
对于一条边\((u,v,w)\)，\(\text {if}~(dis_u+w(u,v)<dis_v)~\text{then}~dis_v=dis_u+w(u,v)\)
所以对于求出来的dis，有\(dis_v\leq dis_u+w(u,v)\)对吧。。。
那么这和差分约束中\(x_i-x_j\leq a_k\)是对应的，就可以从\(~j~\)连到\(~i~\)一条权值为\(~a_k~\)的边
这也给了我们一个启发：如果能把要求的贡献/条件转化为图论算法要求的形式，数学问题也可以解决
最小割的数学形式
考虑对于\(~01~\)变量\(~x~\)，令\(x=0\)则与源点联通，\(x=1\)则与汇点联通
考虑边\((S,x,a)\)，即从源点向\(x\)连了流量为\(a\)的边对最小割的贡献
那么仅当\(~x~\)连与汇点联通时才能算把这条边割掉的贡献，此时\(x=1\)
那么就可以简单地把答案表示为\(a*x\)
同样地，对于边\((x,T,a)\)，答案即为\(a*(1-x)\)
最后考虑边\((x,y,a)\)，注意是有向边
那么这条边要被割掉仅当\(x\)与源点联通，\(y\)与汇点联通，贡献即为\(a(1-x)y\)
求最小割的本质就是给x赋值对吧
那么我们把要求的贡献表示成这三种形式，不就可以通过最小割算出最小的贡献了？
（最大割是np问题~）
来看一道例题吧：
ZROJ1209
放心你们找不到
说下题意：
有一个 \(n×m\) 的方格，一开始所有格子都是白色的，你的最终目的是把方格涂成你想要的颜色
你有三种刷的方法：
- 横着刷连续的 \(k\) 格，代价是 \(ak+b\)
- 竖着刷连续的 \(k\) 格，代价是 \(ak+b\)
- 只刷某个格子，代价是 \(c\)
每个格子的颜色是最后刷它的那个刷子的颜色，但是有以下几个限制：
- 每个格子最多只能被刷两次，无论这些刷子是否同色
- 每个格子不能先刷白色刷子再刷黑色刷子，因为白色染料比较特殊，这会导致格子变成灰色，但是你可以先刷黑色刷子再刷白色刷子，也可以在一开始格子是初始颜色白色时刷黑色刷子
现在你需要求出，刷出指定颜色的最小代价
有个结论:不会被横刷子涂两次，这样不是白给吗
因为最开始都是白的，我们考虑先刷黑的，再刷白的，最后刷单点，这样一定最优
设\(bh[x][y]\)表示 (x,y)是否被横着的黑刷子刷了，\(wv[x][y]\) 表示是否被竖着的白刷子刷了
然后设\(\text{_bv[x][y]}\)表示1-(x,y)是否被竖着的黑刷子刷了，\(\text{_wh[x][y]}\)表示是否被横着的白刷子刷了
这样设是为了表示答案方便，好用最小割求解
考虑横竖刷子的代价\(ak+b\) ，可以把a摊到每个格子上，b算到最后一个格子
那么横着的黑刷子对每个点的贡献就是\(bh[x][y]*a+b*bh[x][y]*(1-bh[x][y+1])\)
其他的同理，显然符合最小割的贡献形式
考虑单点的代价，被单点修改仅当没有被刷子刷过
黑格子贡献：\(c*(1-bh[x][y])*(\text{_bv[x][y]})\)
又因为不能被白的刷过，贡献\(inf*wv[x][y]+inf*(1-\text{_wh[x][y]})\)
那么白格子单点贡献：之前涂了黑但没被涂白
\(c*bh[x][y]*(1-wv[x][y])+x*(1-\text{_bv[x][y]})*\text{_wh[x][y]}\)
而且不能被黑刷子刷两次：\(inf*bh[x][y]*\text{(1-_bv[x][y])}\)
然后对应连点，求最小割，就做完了
一些没用的总结
所以对于一些难抽象出图论模型的最小割题，可以转化成数学模型做，具体就是设设变量然后看看形式对不对应，变量可以设两种形式
有一道著名的文理分科题好像也可以这样做。。。
