原根简介&应用

一个数m如果有原根，则其原根个数为phi(phi(m))。特别地，对素数有phi(p)=p-1。

假设g是奇素数p的一个原根，则\(g^1,g^2,...,g^{(p-1)}\)在模p意义下两两不同，且结果恰好为\(1~p-1\)，由此可以定义“离散对数”，与连续数学中的对数有异曲同工之妙。

离散对数又叫做“指标”，有指标法则：\(I(ab)≡I(a)+I(b) (mod p-1)；I(a^k)≡k*I(a) (mod p-1)\)，由此可以把乘法转化为加法。

又因为\(g^1,g^2,...,g^{(p-1)}\)在模p意义下两两不同，于是判断方法：O（p）

inline bool pdg(int x,int p){
    int t = 1;CLR(vis,0);
    FOR(i,0,p-2){
        if(vis[t]) return false;
        vis[t] = true;
        t = qmul(t,x,p);
    }
    return true;
}
 
int g;
 
inline int getg(int p){
    FOR(i,2,p-1){
        if(pdg(i,p)) return i;
    }
}

对于指数方程：\(a^x \equiv b \pmod {p^e}\)
令g为p^e原根，也就是p的原根
有 \(log_ga*x \equiv log_gb \pmod{\phi(p^e)}\)

留坑待填。。。