区间K大——树套树

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• 定义
• 实现方法
  • 问题
  • 实现
  • 代码

定义

• 这里的树套树是用线段树套平衡树
• 线段树用来维护区间位置信息，把这个区间中的所有数插进一颗平衡树中
• 利用线段树信息可加的性质来维护区间k大

实现方法

问题

区间k大问题需要进行几个操作：

1. 查询k在区间内的排名

2. 查询区间内排名为k的值

3. 修改某一位值上的数值

4. 查询k在区间内的前驱 (前驱定义为严格小于x，且最大的数)

5. 查询k在区间内的后继 (后继定义为严格大于x，且最小的数)

实现

1. 查询区间内一个数的排名：在线段树上找到区间对应的节点，然后每个节点的平衡树内查询对应数的排名并求和。时间复杂度 \(O(\log^2N)\)
2. 查询区间内排名为k的数是几：由于这项操作在线段树上不可加。所以我们考虑转换为判定一个数是不是区间内排名为k的。这个可以在 \(O(\log^2N)\)的时间内通过操作1完成。那么我们考虑二分答案，就可以解决这个问题。时间复杂度 \(O(\log^3N)\)
3. 单点修改：我们在线段树上找到所有覆盖这个点的区间，然后在所有区间对应的平衡树中删除原数，加入新数即可。时间复杂度 \(O(log^2N)\)
4. 对于4和5、 查询区间内一个数前驱、后继：这是平衡树上的经典问题。我们只需要对于所有区间分别查询，然后答案相应的取\(\max\min\)即可。时间复杂度 \(O(\log^2N)\)
   当然，由于序列中的一个数最多被插入 \(O(\log N)\)个平衡树内，考虑到每次修改操作最多增加并删除一个节点，所以空间复杂度为 \(O(N\log N)\) 。经过我们的分析，时间复杂度为 O\((N\log^3N)\)。当然这是一个较松的上界。

代码

include<iostream>

（肥肠抱歉，咕咕咕