卡特兰数

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• 卡特兰数
  • 定义
  • 计算方式
• 卡特兰数性质
  • 线性递推：

卡特兰数

定义

\(f_n=f_0f_{n-1}+f_1f_{n-2}+...+f_{n-1}f_0\)

也即

\(f_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1} f_i f_{n-1-i}\)

卡特兰一般在计数题中有运用

计算方式

一般采用组合数的计算方式

由折线法可知

\(f_n=C^n_{2n}-C^{n+1}_{2n}\)

\(=\frac{(2n)!}{n!(2n-n)!}-\frac{(2n)!}{(n+1)!(2n-(n+1))!}\)

\(=\frac{(2n)!}{(n!)^2}-\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}\)

\(=\frac{(2n)!}{(n!)^2}-\frac{(2n)!}{(n)!^2}\frac{n}{n+1}\)

\(=\frac{1}{n+1}\frac{(2n)!}{(n)!^2}\)

\(=\frac{\prod\limits^{2n}_{i=n+2}i}{(n)!}\)

卡特兰数性质

线性递推：

\(f_{n+1}=\frac{4n+2}{n+2}f_n\)

做题的时候先用定义法证一下，实在不行就打表猜结论好啦QAQ