扩展欧拉定理

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• 结论
• 证明

扩展欧拉定理无需 \(a,m\)互质。

结论

\(b\ge\varphi(m)\text{时},a^b\equiv a^{\left(b\mod\varphi(m)\right)+\varphi(m)}\mod m\quad\quad\)

证明

先取 \(m\) 的一个质因数 \(p\)，令 \(m=p^r\times s,gcd(p,s)=1\)m=p

由欧拉定理得 \(p^{\varphi(s)}\equiv1\mod s\)

由欧拉函数的性质得 \(\varphi(m)=\varphi(s)\times\varphi(p^r)\)

所以 \(p^{\varphi(m)}\equiv1\mod s\)

设 \(p^{\varphi(m)}=ks+1\)

那么 \(p^{\varphi(m)+r}=km+p^r\)

所以 \(p^{\varphi(m)+r}\equiv p^r\mod m\)

当 \(b\ge r\) 时，\(p^b\equiv p^{b-r}\times p^r\equiv p^{b-r}\times p^{\varphi(m)+r}\equiv p^{b+\varphi(m)}\mod m\)

因为 \(r\le\varphi(p^r)\le\varphi(m)\)

所以当 \(b\ge 2\varphi(m)\) 时 \(b-\varphi(m)\ge r\)，所以 \(p^b\equiv p^{b-\varphi(m)}\mod m\)

即 \(p^b\equiv p^{(b\mod\varphi(m))+\phi(m)}\mod m\)

将 \(a\) 质因数分解后乘起来，就可以得到 \(a^b\equiv a^{(b\mod\varphi(m))+\varphi(m)}\mod m\)

需要注意的是，\(b<\varphi(m)\) 时，\(a^b\equiv a^{(b\mod\varphi(m))+\varphi(m)}\mod m\) 不一定正确。