luoguP4931 情侣?给我烧了!(加强版)

luogu

普通版题解:https://www.cnblogs.com/lcxer/p/10876856.html

在普通版里,我们考虑对于\(n\)对情侣,恰好\(k\)对是和谐的方案数是
\[ ans[n][k]=\binom{n}{k}A^k_n2^kg(n-k) \]
然而这样做是\(O(n^2)\)的,瓶颈在于如何快速求出\(g(n-k)\)

之前我们的做法需要用到\(ans\)数组,这样是无法优化的,我们换一个思路来求\(g\)

假如我们已经确定了\(n-1\)对情侣都是乱序的方案数\(g(n-1)\)

那么\(n\)对情侣乱序可以看做选出\(1\)对情侣是和谐的,然后用这\(1\)对情侣中的一个人与其他乱序的人交换,这样得出来的一定是\(n\)对情侣乱序的方案,交换的方案一共是\(2*2(n-1)\),然后考虑将新生成的这对座位插到那\(n-1\)对情侣中的方案数为\(n\)

这一部分的总方案数是
\[ 4n(n-1)*g(n-1) \]
然而这样算的并不全,还有一种情况考虑不到:如果有两对情侣都是和谐的,他们之间互换,这种情况之前的方案是考虑不到的

这样的方案数是多少呢?

除去我们新加的这一组,那么我们就选\(1\)组出来,选出来的方案数是\(n-1\)

这两组互换的方案数是\(8\)

然后再将这两组插回去方案数是\(n(n-1)\)

这一部分的总方案数是
\[ 8n(n-1)(n-1)*g(n-2) \]
可以发现这已经是所有的方案数了,如果我们多选两组出来,这两组互换一下就是第一部分的方案了,同理其他的情况都可以转化为这两种情况

所以
\[ g(n)=4n(n-1)*g(n-1)+8n(n-1)(n-1)*g(n-2) \]
预处理出来就可以\(O(1)\)询问了

代码:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
void read(int &x) {
    char ch; bool ok;
    for(ok=0,ch=getchar(); !isdigit(ch); ch=getchar()) if(ch=='-') ok=1;
    for(x=0; isdigit(ch); x=x*10+ch-'0',ch=getchar()); if(ok) x=-x;
}
#define rg register
const int maxn=5e6+10,N=5e6,mod=998244353;
int k,T,n,g[maxn],fac[maxn],inv[maxn],d[maxn];
int mul(int x,int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/mod*mod;}
int del(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int mi(int a,int b){
    int ans=1;while(b){if(b&1)ans=mul(ans,a);b>>=1,a=mul(a,a);}
    return ans;
}
int C(int n,int m){return mul(fac[n],mul(inv[m],inv[n-m]));}
int A(int n,int m){return mul(fac[n],inv[n-m]);}
int main()
{
    read(T);fac[0]=inv[0]=d[0]=1;
    for(rg int i=1;i<=N;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i),d[i]=mul(2,d[i-1]);
    inv[N]=mi(fac[N],mod-2);
    for(rg int i=N-1;i;i--)inv[i]=mul(inv[i+1],i+1);
    g[0]=1;
    for(rg int i=1;i<=N;i++)g[i]=add(mul(i,mul(4*i-4,g[i-1])),mul(i,mul(8*(i-1),mul(i-1,g[i-2]))));
    while(T--)read(n),read(k),printf("%d\n",mul(C(n,k),mul(A(n,k),mul(d[k],g[n-k]))));
}
posted @ 2019-05-16 21:15 蒟蒻--lichenxi 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏