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参考资料

莫队

就是对询问重排，按照一定的顺序去处理，移动询问区间的指针，就可以使得复杂度大大降低。

一般都是处理离线询问，在线的话是一种科技，但是在比赛中不太可能考。

普通莫队

形式

序列长度为 \(n\)，\(q\) 次询问，每次询问 \([l,r]\) 中的一些东西。

解题思路

对询问重排，分块，先按照左端点按照所在块编号排序，在按照右端点位置排序，每次移动左右指针。块长在 \(n,q\) 同阶下取 \(\sqrt n\)，否则是 \(n\over \sqrt q\)时间复杂度 \(O(n\sqrt q)\)。

时间复杂度

分析一下时间复杂度，\(B\) 是块长：

• 左端点移动次数：每次移动量 \(O(B)\)，总共是 \(O(qB)\)。
• 右端点移动次数：块内有序，最多是从 1 到 \(n\)，所以块内是 \(O(n)\)，有 \(n\over B\) 个块，总共是 \(O({n^2\over B})\)。

总时间复杂度 \(O(qB+{n^2\over B})\)，最优取 \(B={n\over \sqrt q}\)，时间复杂度 \(O(n\sqrt q)\)。

带修莫队

形式

在普通莫队的基础上，加上修改操作（次数为 \(m\)），每次操作可能是询问也可能是修改。其实就是三维莫队。

解题思路

相当于加上时间一维，我们这次先按照左端点分块排，在按照右端点分块排，最后按照时间分块排，维护三个指针移动。

时间复杂度

• 左端点：\(O(qB)\)。
• 右端点：\(O(qB+{n^2\over B})\)。
• 时间 \(t\)：左右端点组成的二元组数量 \(O({(n\over B)}^2)\)，\(t\) 复杂度 \(O({mn^2\over B})\)

当 \(n,m,q\) 同阶，通常取 \(B=n^{2\over 3}\)，时间复杂度 \(O(n^{5\over 3})\)。

奇偶优化

无法直接改变渐进复杂度，但可以大大优化常数，有效减少了 \(r\) 跳跃幅度过大的问题。

拿普通莫队举例：

如果左端点块的编号为奇数，\(r\) 按照升序排列，否则 \(r\) 按照降序排列。

在比如说带修莫队，或者高维莫队：

先按照第一维的奇偶性，决定第二维的排法，再按照第二维的奇偶性决定第三维，以此类推：

参考 cmp 代码

sort(q + 1, q + Q + 1, [&](Query a, Query b) {
    int al = a.l / B, bl = b.l / B;
    int ar = a.r / B, br = b.r / B;

    if (al != bl) return al < bl;

    if (al & 1) {
        if (ar != br) return ar > br;
    } else {
        if (ar != br) return ar < br;
    }

    if (ar & 1) return a.t > b.t;
    else        return a.t < b.t;
});

回滚莫队/不删除莫队

不能用奇偶优化。

形式

与普通莫队类似的询问区间，\(q\) 次询问，但是询问的内容不好维护删除操作，或者有些不好维护增加操作，反正有一种操作好维护，另外一种不好维护。

比如说让你查询区间出现最多的颜色数，这个很好增加，因为你只需要考虑打擂台即可。但是删除不好做，因为你还要知道次大值甚至更后的。

解题思路

这时候就要用到回滚莫队了，与普通莫队类似的，将询问离线下来，分块，并且得到每个块的左右端点 \(L_i,R_i\)。

我们按照块的编号从左到右扫来考虑问题，我们该怎么保证只能增加的操作呢？

我们先考虑如果一个询问区间的左右端点都在当前块，那么可以暴力统计，单次时间复杂度是 \(O(\sqrt n)\)。如果不在当前块，也就是 \(r>R_i\) 呢？

现在右端点是递增的，这很好的保证了只增加。然而左端点可能会在块内乱跳。我们该如何处理呢？我们对于每个要统计的询问区间，维护双指针 \(l,r\)，\(r\) 就像普通莫队那样一直向后扩展，而 \(l\) 每次都回到当前块的右端点过一个位置，即 \(R_i+1\)，\(r\) 初始化为 \(R_i\)，初始的的时候统计区间是空的。

每次继续尝试扩展 \(r\)，记录，再去扩展 \(l\)，统计答案。然后 \(l\) 跳回 \(R_i+1\)，而当前维护的答案也回到还没扩展 \(l\) 之前的记录值。

复杂度

复杂度与普通莫队一样，左端点的移动量也是 \(O(\sqrt n)\)，只不过可能常数大一点。

树上莫队

把树排成序列，用莫队来做。

trick

1. 莫队的奇偶优化，还有左右端点移动时，一定要先扩张在收缩。

题目

P14420 [JOISC 2014] 历史的研究 / Historical Research \(\checkmark\)

题目大意

给定长度为 \(N\) 的序列 \(X_i\)，表示每天发生的事件种类。共 \(Q\) 次询问，每次给出区间 \([L,R]\)。对每种在区间中出现的事件种类 \(A\)，定义其重要度为

\[W_A=A\times T_A, \]

其中 \(T_A\) 是 \(A\) 在区间 \([L,R]\) 中出现的次数。对每个询问，求区间内所有事件种类的重要度最大值并输出。

\(1\le Q,N\le 10^5\)，\(1\le X_i\le 10^9\)，\(1\le L\le R\le N\)。

解题思路

回滚莫队板子题。
一定要仔细注意边界处理。看看自己的代码。