图论基础

参考资料

引言

主要是以基础知识为主，一些板子，还有一些容易错的写法。

注意事项

1. 判断一个点是割点要求是存在 \(low[v]\ge dfn[u]\) 即可，还有是根节点且独立的子树至少两个。判断\((u,v)\) 是割边要求是 \(low[v]>dfn[u]\)。

2. 点双联通需要计入 \(u\)，但不需要将其弹出栈，注意要判断孤点。边双连通不需要计入 \(u\)。注意最后要把栈中剩余的点拿出来组成新的边双。

3. 点双有两种定义。一种定义是“图中任意两不同点之间都有至少两条点不重复的路径”，而另外一种是“不存在割点的图”，一般是后者。

4. 一个点只属于一个边双，但可能属于多个点双。

5. 在双联通分量中都是加入新的分量考虑 \(u\) 的儿子 \(v\)，而强联通分量加入新的分量是考虑 \(u\)，条件是 \(low[u]=dfn[u]\)。

6. 欧拉路径模板中一定要注意 \(head[u]\) 要动态维护，\(i\) 也要。

差分约束

知识点

形如 \(x_u-x_v\le w\)，可以转化为等价的三角形不等式 \(x_u\le x_v+w\)，因为可能有负权，可以用 SPFA 跑了，如果出现负环那么说明无解。

所有约束先统一成 \(x_v \leq x_u + w\)，再连 \(u \to v_o\)

总结一些常见的形式：

原约束	标准形	边
\(x_v - x_u \leq c\)	\(x_v \leq x_u + c\)	\(u \to v\)（权 \(c\)）
\(x_v - x_u \geq c\)	\(x_v \leq x_u - c\)	\(v \to u\)（权 \(-c\)）
\(x_v = x_u + c\)	两个方向	\(u \to v\)（权 \(c\)），\(v \to u\)（权 \(-c\)）

一些注意事项：

• $ x_v - x_u \geq w $ 改写为 $ x_u - x_v \leq -w $;

• $ x_v - x_u = w $ 拆成两个方向的不等式;

• 区间和约束先用前缀和变量改写成差。

• 以上讲的都是相对约束，如果是形如 \(x_u\le w\) 这种是绝对约束，需要建立数值源点与之相连。

源点

算法源点：

正确性依赖每条边都被松弛，因此最短路源点要能访问到所有边。一种合法的方式是增加超级源点 $ s $ 向所有点连 0 边。

数值源点：

我们为了使所有约束都是相对约束，添加变量 $ x_0 $ 作为数值源点，绝对约束就可以化成和 $ x_0 $ 的相对约束，同时最后减去 $ x_0 $ 最后的值就是一组合法赋值了。（由于常常用 $ x_0 $ 作为起点所以值大概率是 0）

一般的差分约束不认为两者等同，但是如果恰好数值源点 $ x_0 $ 已经能访问所有点了那么就没有必要添加算法源点。

一些性质

1. 差分约束系统有可行解，当且仅当约束图不存在负环。

2. 最紧上界：若 \(x_0=0\)，从 \(0\) 出发到达 \(v\)，\(dis_v\) 就是 \(x_v\) 的最大值。

三元环计数

P1989 【模板】无向图三元环计数

题目大意

给定一张无向图，求其中三元环个数。

\(1\le n\le 10^5,1\le m\le 2\times 10^5\)。

解题思路

标准解法

我们考虑将其定向成有向图，优先由度数小的连向度数大的，如果度数一样就编号小的连向编号大的。容易发现，形成的新图一定是个 DAG。

我们考虑在新图上做，枚举 \(u\) 的有向边 \((u,v)\)，判断是否存在 \((v,w)\) 满足存在 \((u,w)\)。这个可以在枚举 \(u\) 的时候先给 \(u\) 能到的 \(w\) 打上标记，然后枚举 \(v\) 判断即可。由于每一条边 \((u,v)\) 对答案的贡献是 \(out_v\)。复杂度是 \(O(\sum_{i=1}^m out_{v_i})\)。能到 \(O(m\sqrt m)\)。

分析一下复杂度，显然跟出度有关。对 \(v\) 根号分治一下：

• 原图上 \(v\) 的度数 \(\le \sqrt m\)，新图上的出度不可能更大，故 \(out_v\le \sqrt m\)。
• 原图上 \(v\) 的度数 \(> \sqrt m\)，由于我们的连边规则，\(v\) 连向的点一定都是度数 \(>\sqrt m\)，所以最多只能连向 \(m\over \sqrt m\)，故 \(out_v\le \sqrt m\)。

所以总复杂度是 \(O(m\sqrt m)\)。

bitset

如果你想不到正解那样的定向。直接用 bitset 来优化枚举判断 \((u,v),(v,w)\) 是否有 \((u,w)\)，用 & 还有 count 之后时间复杂度是 \(O({nm\over w})\)。很能过，但是空间复杂度爆炸了，\(O({n^2\over w})\)，这是存不下的。

由于这是领接矩阵，所以它必然有很多位置是浪费的了，我们尝试根号分治一下，对于度数 \(>B\) 的位置存，否则暴力找，这样就对了，时间复杂度 \(O({nm\over w}+mB)\)，空间复杂度 \(O({nm\over Bw})\)。

启发：

1. 正解记住小的连向小的即可。
2. bitset怎么这么牛。