欧拉函数相关

参考资料

deepseek 老师

引入

笔者在 NOIP 模拟赛上被欧拉函数创飞 2 次，要来总结一下了。

定义

\(\varphi(n)\) 表示 \(1\sim n\) 与 \(n\) 互质的数的个数。

性质

以下的 \(p\) 代表质数。

• \(\varphi(p)=p-1\)，这很显然。

• \(\varphi(n)=n\prod_{p\mid n}({p-1\over p})\)，计算通式。

  • 证明：一个数满足不是 \(p\) 的倍数的概率是 \(p-1\over p\)，根据乘法原理可得上面式子。

• \(\sum_{i=1}^n\varphi(i)=n\)，求和恒等式。

  • 证明：优美极了。考虑 \(n\) 个分数 \({n\over 1},{n\over 2},{n\over 3},\cdots,{n\over n}\)，约分后每个 \(i\in[1,n]\) 的数作为分母的分数个数是 \(\varphi(i)\) 个，总数就是 \(n\)。

• \(\varphi(nm)={\varphi(n)\varphi(m)d\over \varphi(d)}\)，其中 \(d=\gcd(n,m)\)。特别地，当 \(n,m\) 互质时 \(\varphi(nm)=\varphi(n)\varphi(m)\)。

  • 证明：可以用棋盘来理解，通过中国剩余定理将其映射成 \((x\mod n,y\mod m)\) 的剩余类。

• 上一条也可以写成 \(\varphi(nm)=\varphi(n)\varphi(m)\prod_{p\mid n,m}{p\over p-1}\)。