数论题

trick 整合

1. 根号分治在质数中非常经典的应用：对于值域进行根号分治，对 \(\le \sqrt w\) 的小质数值域不大，\(>\sqrt w\) 的大质数最多只有一个，所以各有优秀性质。

2. 比如说上面那种根号分治的应用也可以用在分析数量级上。

3. 公约数题目都可以分解成枚举质数的形式。还有一种要算出有多少满足 \(p\mid x\) 但是 \(p\nmid x\)，这种可以用容斥算。

题目

P13568 [CCPC 2024 重庆站] 乘积，欧拉函数，求和

题目大意

有 \(n\) 个数 \(a_1,\dots,a_n\)，求 \(\sum_{S\subseteq\{1,\dots,n\}} \varphi(\prod_{i\in S} a_i) \bmod 998244353\)，其中空集乘积为 \(1\)。

\(1\le n\le 2000,\ 1\le a_i\le 3000\)。

解题思路

首先可以联想一下关于 $\varphi(v)$ 的计算式，这条式子挺好用的：

\[\varphi(v)=v\prod_{p^k\mid v} \varphi(p^k)=v\prod_{p^k\mid v}(p^k-p^{k-1})=v\prod_{p\mid v} {p-1\over p} \]

回到原式就是

\[\sum_S \prod_{i\in S}a_i\prod_{p\mid \prod_{i\in S} a_i} {p-1\over p} \]

我们一次考虑每个 \(a_i\) 的贡献，因为每个质因数只能供献一次，所以我们要把它是否出现过记录下来，具体来说记状态 \(f_{i,S}\) 表示前 \(i\) 个数，选出的质因数集合是 \(S\) 的答案贡献，\(S\) 用状压表示，但是需要记录每一个质数，这样就会爆掉，于是我们可以考虑用一个很重要的 trick：根号分治。

对于 \(\le \sqrt v\) 我们用状压，\(>\sqrt v\) 的由于每个 \(a_i\) 至多只有一个这样的质因子，我们可以把它领出来考虑。具体来说，对于每个 \(>\sqrt v\) 的质数开一个二元vector，存的是包含它的 \(a_i\) 还有 \(a_i\) 的小质数状压集合。记 \(f_{i,S,0/1}\) 表示对于前 \(i\) 个数，当前选的小质数集合是 \(S\)，有没有选第 \(i\) 个数对应的大质数（如果没有大质数这个就不用管），可以把第一维压掉，把对应大质数相同的放在一起转移，注意由于大质数贡献只能有一次，这相当于是一个 01 背包，把第一维压掉后要倒序枚举转移。时间复杂度 \(O(n2^V+V2^V),V=16\)。

启发：

1. 数论相关的还是要去熟悉基本计算式和一些性质。
2. 根号分治在质数的应用太经典了，运用了 \(>\sqrt n\) 的质因数最多 1 个的重要性质。

课件知识点不太了解的

1. 莫队二次离线。

2. 操作树，可撤销并查集+分块。

3. 惰性堆。

4. 树分块。

trick 整合

题目

P2824 [HEOI2016/TJOI2016] 排序 \(\checkmark\)

题目大意

给定一个 \(1\sim n\) 的排列，进行 \(m\) 次操作：

• 0 l r：将下标区间 \([l,r]\) 内的数升序排序；
• 1 l r：将下标区间 \([l,r]\) 内的数降序排序。

所有操作结束后，询问第 \(q\) 个位置上的数字。\(n,m\le 10^5\)，\(1\le q\le n\)。

解题思路

我们只需要查询一个位置，这很好。

对于排序问题我们都可以考虑转 01，二分 mid，做一遍 \(m\) 次操作，只需要用线段树模拟，支持区间修改成 0 或者 1，区间查询 1 的个数，最后看看第 \(q\) 位是不是 0/1，继续二分。时间复杂度 \(O(m\log n)\)。

启发：

1. 对于排序问题，很多时候我们都可以转成 01 来考虑，研究排序的本质就是把 0 前移，1 后移。

P6619 [省选联考 2020 A/B 卷] 冰火战士 \(\checkmark\)

题目大意

有冰、火两派战士，每个战士有温度 \(x\) 和能量 \(y\)。给定场地温度 \(T\) 时：

• 冰系战士可参赛当且仅当 \(T\ge x\)；
• 火系战士可参赛当且仅当 \(T\le x\)。

双方可参赛战士按题述顺序依次对战，双方每轮消耗相同能量。若冰系可参赛总能量为 \(I(T)\)，火系可参赛总能量为 \(F(T)\)，则总消耗为

\[2\min(I(T),F(T)). \]

求使总消耗最大的最高温度 \(T\)，并输出该温度及最大总消耗；若不存在使双方都有战士可参赛的温度，输出 Peace。

动态维护：共 \(Q\) 次操作，每次加入一个战士（给出派系 \(t\)、温度 \(x\)、能量 \(y\)）或撤回之前某条加入操作，要求在每次操作后立即输出当前答案。

\(1\le Q\le 2\times 10^6\)，\(1\le x\le 2\times 10^9\)，所有 \(y\) 之和不超过 \(2\times 10^9\)。

解题思路

简单转化后的题意如上，肯定可以离散化。仔细读一读，相当于我们需要动维护一个单调的离散函数，\(f\) 单调不降，另外 \(g\) 单调不增，我们需要求出一个离散位置使得两个函数值的 \(min\) 最大，在 \(min\) 最大情况下位置下标也最大。

其实本质是求两条函数 \(f,g\) 的交点，但是这是离散的。所以我们就变成了求最大的 \(f(x)\le g(x)\) 的 \(x\)，以及最前的 \(f(x)>g(x)\)（这个前一个 \(x+1\) 即可），注意，这里如果存在 \(x'>x\) 且 \(g(x')=g(x)\)，那么取 \(x'\)。

动态来做的话就需要上数据结构，一方面支持后缀前缀修改，一方面也要支持二分（如果要单 \(\log\)），我们肯定可以用线段树来做，但是如果你想要更优常数（这道题卡）也可以用树状数组，难点在于树状数组上的倍增。

实现上前后缀修改其实可以统一，其中一个最后用总结果减一减算一算就行了。

启发：

1. 当成树状数组练手题。

CF1762F Good Pairs \(\checkmark\)

题目大意

给定长度为 \(n\) 的数组 \(a\) 和整数 \(k\)。若存在下标序列 \(i_1,i_2,\dots,i_m\)，满足：

• \(i_1=l\)，\(i_m=r\)；
• \(i_1<i_2<\cdots<i_m\)；
• 对每个 \(1\le j<m\)，都有 \(\lvert a_{i_j}-a_{i_{j+1}}\rvert\le k\)，

则称点对 \((l,r)\) 是“好对”。求满足 \(1\le l\le r\le n\) 的“好对”数量。

多组数据，\(1\le t\le 10^5\)，\(1\le n\le 5\cdot10^5\)，\(0\le k\le 10^5\)，\(1\le a_i\le 10^5\)，且所有数据中 \(n\) 之和不超过 \(5\cdot10^5\)。

解题思路

首先考虑判定一个区间 \([l,r]\) 是不是好的，我们发现，对于好的序列，它一定是单调的，因为如果存在 \(x\to y\to z\) 且满足 \(a_x>a_y<a_z\) 或者 \(a_x<a_y>a_z\)，那么 \(x\to z\) 也是合法的，所以一段合法序列肯定等价于一个单调的序列。

注意也有可能是 \(a_x=a_y\)，它们也能到，所以这个可以提前算出，最后容斥掉。

单调不增和单调不降是对称的，所以我们这里统一考虑单调不降。

我们倒着处理，对于 \(i\)，找到最小的 \(j\) 满足 \(a_j\in (a_i,a_i+k]\)，定义其为 \(nxt_i\)，容易发现定义 \(f_i\) 为以 \(i\) 为左端点的好区间个数，那么在这里 \(f_i\gets f_{nxt_i}\)，但是还有一些位于 \((a_i,a_{nxt_i})\) 之间的数是 \(i\) 到的了的，\(nxt_i\) 到不了的。

综上所述，我们需要找到 \(nxt_i\)，统计 \([a_i,a_{nxt_i}]\) 的数的个数，所以用一颗权值线段树足够了，并且值域数据范围是小于 \(n\) 的，所以能过。

统计单调上升的就是把序列翻转一下就行了。

P9060 [Ynoi2002] Goedel Machine \(\checkmark\)

题目大意

给定长度为 \(n\) 的序列 \(a_1,\dots,a_n\)。有 \(m\) 次询问，每次给出区间 \([l_i,r_i]\)，求

\[\prod_{\varnothing\ne S\subseteq [l_i,r_i]}\gcd\{a_j:j\in S\}\pmod{998244353}, \]

即该区间内所有非空子集的最大公约数之积，对 \(998244353\) 取模。

\(1\le n,m,a_i\le 10^5\)，\(1\le l_i\le r_i\le n\)。

解题思路

对于这种公约数题目，我们都可以拆成与枚举质数有关的东西，这是比较典的拆贡献方法。

比如说，经典的，我们枚举每个质数 \(p\)，数一数当前询问区间有多少个数是满足 \(p\mid a_i\)，假设当前个数为 \(c\)，那么这个质数的贡献是 \(p^{2^c-1}\)。进一步，我们发现其实可以枚举 \(p^k\)，每次就相当于在 \(p^{k-1}\) 的基础上增量而已。

分析复杂度，我们的质数幂次个数是大于质数个数的，但是比较接近，可以自己写份代码验证一下。因为质数个数是 \(O({n\over \ln n})\) 级别的，所以这样做的复杂度肯定会炸掉。

我们尝试套上经典 trick，根号分治，记 \(w=\max a_i\)，将 \(p\) 分成 \(\le \sqrt w\) 和 \(>\sqrt w\) 的。

对于 \(p\le \sqrt w\)，我们直接用上面的思路，预处理出 2 的幂次还有逆元，这样的复杂度是不会超过 \(O(m\sqrt w+m\sqrt w)\)。

对于 \(p>\sqrt w\)，每个 \(a_i\) 至多只有一个这样的 \(p\)，所以我们可以用莫队，每次移动左右端点都只会使区间内的 \(p\) +1,-1，所以这一部分也用上预处理之后的时间复杂度是 \(O(n\sqrt m)\)。

预处理最好不是 \(2^k\) 此方的，这个后面还是比较麻烦，可以直接预处理 \(p^{2^k}\)，最后在 \(\times p^{-1}\) 即可。

\(n,m,w\) 同阶，总时间复杂度就是 \(O(n\sqrt n)\)。

启发：

1. 对于这种公约数题目，我们都可以拆成与枚举质数有关的东西，这是比较典的拆贡献方法。

2. 根号分治对于质数的运用。

CF809E Surprise me!

题目大意

给定一棵 \(n\) 个点的树，点 \(i\) 权值为 \(1\sim n\) 的排列 \(a_i\)。等概率随机选有序点对 \((u,v)\)，\(u\ne v\)，求

\[\frac{1}{n(n-1)}\sum_{u\ne v}\varphi(a_u a_v)\,d(u,v) \]

的期望。设该期望为最简分数 \(\frac{P}{Q}\)，输出 \(P Q^{-1}\bmod 10^9+7\)。其中 \(\varphi\) 为欧拉函数，\(d(u,v)\) 为树上距离。\(2\le n\le 2\cdot 10^5\)。

解题思路

法一：

考虑 \(\varphi(a_u,a_v)={\varphi(a_u)\varphi(a_v)d\over \varphi(d)}\)，等价形式：\(\varphi(a_u)\varphi(a_v)\prod_{p|a_u,a_v} {p\over p-1}=\varphi(a_u)\varphi(a_v)\prod_{p|a_u,a_v} (1+{1\over p-1})\) 后面那一坨可以用组合意义展开成

\[\sum_{T\subseteq S}\prod_{p\in T} {1\over p-1}\]

其中 \(S\) 表示的就是 \(p\mid a_u,a_v\) 所有 \(p\)的集合，然后 \(T\) 是枚举的。我们可以把后面的 \(\prod\) 看成一个积性函数，也就是我们令 \(x=\prod_{p\in T}\)，令 \(g(x)=\prod {1\over p-1}\)。整理一下变成 \(\sum_{x|a_u,a_v} g(x)\)。由于我们前面要求的 \(T\) 是一个集合，所以 \(g(x)\) 应该也是要类似集合那种互异性，也就是不能存在 \(p^2\) 或以上的因子。故 \(g(x)\) 在此种情况中也就是 \(\mu(x)=0\) 的时候 \(g(x)=0\)，其余遵循上面的合并式子，这个是可以用线性筛预处理。

原本的式子再交换一下求和顺序变成了

\[\sum_{x} g(x) \prod_{x|a_u,x|a_v} \varphi(a_u)\varphi(a_v)dis(u,v) \]

枚举 \(x\)，现在的问题是处理后面的，令 \(c_u=\varphi(a_u)\)，后面的东西可以摊到一条边上，算一算这条边子树内 \(c\) 的和，还有子树外的和，两个乘起来即可。

现在直接做这个问题还是 \(O(n^2)\) 的，但是我们注意到题目给出的 \(a\) 是一个排列，也就是对于每个 \(x\)，合法的 \(x|a_u\) 并不会很多，总的量级是 \(O(n\ln n)\)。

然后我们每次将这些点拿出来，建立虚树，简单树形 DP 即可。

实现上我们对于每次建立虚树如果都要 \(O(siz \log siz)\) 排序的话复杂度可能会受不了，虽然也能过。但是可以进一步优化，很经典的问题，如果每次内部都要排序，但是排序规则都是一样的，我们可以在外部先排一次序，然后直接从中按顺序取出边可以省掉内部排序的 \(\log\)。

代码还没写，一定要补，好题。

启发

1. \(\sum\prod\) 似乎有非常经典的组合意义，他有一个对称的，比如说：
   \(\sum_{T\subseteq S}\prod_{x\in T} x=\prod_{x\in S}(1+x)\)，这个用组合意义很好理解，其实就是一个类似二项式的东西，好像 ZRC Day 29 有类似的题。

2. 如果对于一坨式子不好处理的，可以将其成为一个函数，然后就能好做很多。

3. 很经典的问题，如果每次内部都要排序，但是排序规则都是一样的，我们可以在外部先排一次序，然后直接从中按顺序取出边可以省掉内部排序的 \(\log\)。