整数拆分

参考资料

浅谈整数拆分

题目大意

给定 \(n\)，将其拆分成若干正整数（可重复）之和，不区分顺序，求方案数。

解题思路

\(O(n^2)\)

法一：

定义 \(f(i,j)\) 表示考虑前 \(1\sim i\)，和为 \(j\) 的方案数，转移方程是：\(f(i,j)\gets f(i-1,j)+f(i-1,j-k\times i)\)，这就相当于完全背包。

法二：

定义 \(f(i,j)\) 表示当前选了 \(i\) 个数，和为 \(j\) 的方案数，转移就是 \(f(i,j)\gets f(i,j-i)+f(i-1,j-1)\)，可以画图理解一下。

\(O(n \sqrt n)\)

对应题目： P6189 [NOI Online #1 入门组] 跑步
考虑根号分治，\(B=\sqrt n\)，对于 \(i\le B\) 的数采用 \(O(n^2)\) 的法一，对于 \(i\ge B\) 的树采用法二，只不过状态转移方程稍微改一改。

code

b=sqrt(n)+1;
f[0]=g[0][0]=h[0]=1;
for(int i=1;i<b;i++){
    for(int j=i;j<=n;j++) 
        f[j]=(f[j]+f[j-i])%mod;
}
for(int i=1;i<=n/b;i++){
    for(int j=i;j<=n;j++){
        g[i][j]=g[i][j-i];
        if(j>=b) g[i][j]=(g[i][j]+g[i-1][j-b])%mod;
    }
    for(int j=i;j<=n;j++) h[j]=(h[j]+g[i][j])%mod;
}
int ans=0;
for(int i=0;i<=n;i++) ans=(ans+1ll*f[i]*h[n-i]%mod)%mod;

\(O(n\log n)\)

生成函数，不太会，待补。