树形DP

trick

题目

CF1276D Tree Elimination

题目大意

T1
给定一棵树，边按输入顺序依次处理。对每条边，若其两端点都未被删除，则选择其中一个删除并将其编号加入序列；否则跳过。求最终能得到的所有不同序列数量。

\(n \le 2\times 10^6\)。

解题思路

解题思路

有一些简单的小性质，到时候分析可能会有所帮助：

• 相邻两个点不可能同时不删。

• 每个点删还是不删是有他周围的点的选取情况决定的。

我们发现，每个子树其实内部顺序是独立的，因此，我们可以考虑使用树形 DP，定义 \(f_{u,0/1/2/3}\) 表示该节点被父边之前的子边删、被父边删、被父边之后的子边删、不删。

先考虑被子边删的情况 \(f_{u,0/2}\)，具体是哪个还要看当前枚举的子边在不在父边之前，有以下转移：

考虑当前通过边 \((u,v)\) 来删掉 \(u\)，那么它由 \(f_{v,2,3}\) 转移过来，同时还要考虑之前的还有之后的 \(son_u\) 的贡献，之前的必须删，之后的可以也可以不删，式子：

\[f_{u,0/2}\gets^{+} f_{v,2/3}\times \prod_{w<v,w\in son_u} f_{w,0/1}\times \prod_{w>v,w\in son_u} f_{w,0/2/3} \]

对于 \(f_{u,1},f_{u,3}\) 显然有

\[f_{u,1}\gets^{\times} \prod_{v<fa,v\in son_u} f_{v,0/1}\times \prod_{v>fa,w\in son_u} f_{v,0/2/3}\\ f_{u,3}\gets \prod_{v\in son_u} f_{v,0/1} \]

在树形 DP 过程中动态维护即可，复杂度 \(O(n)\)。