序列上的DP

trick

1. 很多 01 串问题，都是固定 0 或者 1，移动另外一种，这样会方便考虑很多。

2. 如果题目需要考虑当前位选还是不选时，你可以多记一位，也可以强制选，在向后转移的时候在考虑不选时的状态。

题目

P17337 【MX-X30-T3】宇宙分解 \(\checkmark\)

题目大意

给定 01 串，可任意次执行：若相邻为 01，可删除右边的 1，或将 01 交换为 10。求最终能得到多少种不同的 01 串，对 998244353 取模。
\(T \le 10^3\)，所有测试 \(n\) 之和 \(\le 10^5\)，所有串中 \(1\) 的个数总和 \(S \le 2\times 10^3\)。

解题思路

解题思路

启示这道题的数据范围提示的很明显，复杂度是要 \(O(nS)\) 的。

固定 0，操作就相当于选择左移 1 或者删掉这个 1，由于当前第 \(i\) 位的取值依赖于 \(i-1\) 位的情况，所以考虑 DP。

定义 \(f_{i,j}\) 表示强制选第 \(i\) 个 1，它的左边有 \(j\) 个 0，那么转移就是：

• 选 \(i-1\)，\(dp_{i,j}=\sum_{k=0}^j dp_{i-1,k}\)
• 不选 \(i-1\)，此时 \(i-1\) 在哪已经不重要了，贡献的序列都是相同的，所以直接加一即可。

这个很容易用前缀和优化，在加个滚动数组即可。

一个小提示，如果该序列前缀都是 1 的话，他们对答案没有任何贡献，不考虑。

启示： 很多这种 01 串问题，都是固定 0 或者 1，枚举移动另外一种，这样会方便考虑很多。还有一点，如果题目需要考虑当前位选还是不选时，你可以多记一位，也可以强制选，在向后转移的时候在考虑不选时的状态。