CF1118总结

A \(\checkmark\)

题目大意

给定数组 \(a\)，每次可以选择奇数个下标位置 \(\ge 3\)，删掉中间位置的数，可以进行无限次操作，问最终序列的 \(\gcd\) 最大是多少。
\(T\le 10^4 ,n\le 100,a_i\le 10^9\)

解题思路

发现你永远都删不掉第一个和最后一个，所以最优情况是输出 \(\gcd(a_1,a_n)\)。

B \(\checkmark\)

题目大意

有 \(n\) 根木棍，长度分别为 \(a_1,\dots,a_n\)。你可以进行 \(k\) 次操作（\(k=1,2,\dots,m\) 独立求解），每次操作选择一个正整数 \(t\)，然后所有长度大于 \(t\) 的木棍都会被同时切成 \(t\) 和 \(l-t\) 两段（长度不超过 \(t\) 的不变）。经过恰好 \(k\) 次操作后，你可以选择一些长度相同的木棍卖掉，问最多能卖掉多少根。对于每个 \(k=1..m\) 输出答案。

简单版本就是只需要计算 \(k=1\) 时的答案。

\(1 \le n,m \le 2\cdot 10^5\)，\(\sum n\le 2\cdot 10^5,\sum m\le 2\cdot 10^5\),\(1 \le a_i \le m\)

解题思路

简单版本：\(\checkmark\)

考虑到值域也是 \(O(n)\) 级别，我们从值域入手，我们要算的其实就是 \(\max_x \#\{a_i\ge x\}+\#\{a_i=2x\}\)，这两个东西都是可以预处理出来的，然后跑一遍比较即可，复杂度 \(O(m)\)。

困难版本：

与前面一样，考虑我们固定住了 \(x\)，那么对于 \(a_i\) 来说它会产生多少贡献呢？

我们发现每次分掉 \(t=2^c\times x\) 这类是非常好的，因为分成两段后，每一段都单独可以再分，比如说对于 \(x=1,a_i=4\)，第一次 \(t=2\)，第二次 \(t=1\)，这样就可以分成 \(4\) 份，这能带给我们启发。

我们不难发现，如果 \(a_i=2^k\times x\)，那么它的贡献就是 \(2^k\)，否则若 \(a_i<2^k\)，贡献就是 \(a_i\over x\)，若 \(a_i>2^k\)，贡献就是 \(2^k-1\)。

与简单版本类似的，从值域入手，做前缀和。对于每个 \(x\)： 算出三种 \(a_i\) 与 \(2^k\times x\) 的贡献即可。

那对于每个 \(k\) 呢？枚举就行，因为最优的 \(x\le {m\over 2^k}\)，所以这一段复杂度是 \(O(m\log m)\)。

总复杂度 \(O(n+m\log m)\)

似乎并不是很懂怎么预处理/ll