LGV引理学习笔记

参考资料

暂无，搁着。

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简介

用于解决路径不相交问题的计数，适用范围是有向无环图。

引入

LGV引理模板题 给你一个 \(n\times n\) 的棋盘，每次棋子只能向右或者向下走，有 \(m\) 个棋子，第 \(i\) 个棋子要从 \((a_i,1)\rightarrow (b_i,n)\)，问有多少种路径不相交的方案。

解法

我们先考虑放松限制，不要求每个点走到对应的 \(b_i\)，也不管它是否相交，那么对应的方案数可以写成

\[\sum_{p}(\prod_i f(a_i\to b_{p_i})) \]

其中，\(p\) 是枚举起点与终点的配对关系，\(f(x\to y)\) 表示从 \((x,1)\to(y,1)\) 可以用组合数 \(|y-x|+n-1\choose n-1\) 来算。

接下来是妙妙部分，考虑如何去掉不合法方案。

比如说现在有两个起点，两个终点，一组不合法方案长这样子的：

考虑取他们最后一个交点，交换路径，能得到另外一组不合法的方案，如图所示：

很容易发现，这两组方案是一一对应的，满足双射关系。但我们不想要这两种，所以我们考虑让这两种在统计时刚好抵消掉。于是我们构造 \(-1^{\sigma(p)}\)，逆序对个数作为容斥系数，这样就能将两组不合法的方案去掉，而剩下的就是找不到对应关系的方案，其实就是合法方案了！
所以式子就是

\[\sum_{p}-1^{\sigma(p)}(\prod_i f(a_i\to b_{p_i})) \]

然后我们发现这个跟行列式的定义式十分相像，于是我们将其构造成矩阵 \(m\)，\(m_{i,j}={|a_i-b_i|+n-1\choose n-1}\)，然后用高斯消元求行列式即可。

应用

注意事项

题目

NOI2021 路径交点

看 C 班课件。