均值不等式

题目

已知六棱锥 \(P-ABCDEF\) ，底面 \(ABCDEF\) 为正六边形，点 \(P\) 在底面的射影为其中心，将该六棱锥沿六条侧棱剪开，使六个侧面和底面展开在同一平面上，若展开后点 \(P\) 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为 \(5\) 的圆上，则当正六边形 \(ABCDEF\) 的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为 \(\underline{\quad\qquad}\).

解析

如图，连接 \(OP\) ，交 \(EF\) 于 \(G\) ，设 \(OG=x\) ，则 \(GP=5-x\) ，六棱锥的高 \(h=\sqrt{25-10x},S_{ABCDEF}=2\sqrt{3}x^2\) . 则

\[\begin{array}{rl}V&=\dfrac{1}{3}\cdot 2\sqrt{3}x^2\cdot\sqrt{25-10x} \\[2ex] &=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\cdot\dfrac{4}{25}\cdot\sqrt{(25-10x)\cdot\dfrac{5}{2}x\cdot\dfrac{5}{2}x\cdot\dfrac{5}{2}x\cdot\dfrac{5}{2}x} \\[2ex] &\leq\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\cdot\dfrac{4}{25}\cdot\sqrt{5^5} \\[2ex] &=\dfrac{8\sqrt{15}}{ 3}\end{array} \]

当且仅当 \(25-10x=\dfrac{5}{2}x\) ，即 \(x=2\) 时，等号成立，六棱锥体积取最大值 \(\dfrac{8\sqrt{15}}{3}\)，此时六边形的边长为 \(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\) .