图论基础

流程图

图论基本概念

• 图（graph） 是一个二元组 \(G=(V(G),E(G))\)。其中 \(V(G)\) 是非空集；称为点集（vertex set），对于 \(V\) 中的每个元素，我们称其为顶点；\(E(G)\) 为 \(V(G)\) 各结点之间边的集合，称为边集。

• 常用 \(G=(V,E)\) 表示图。

• 若 \(G\) 为无向图，则 \(E\) 中的每个元素为一个有序二元组 \((u,v)\)，称作无向边，建成边，其中 \(u,v \in V\)。设 \(e=(u,v)\)，则 \(u\) 和 \(v\) 称为 \(e\) 的端点。

• 若 \(G\) 为无向图，则 \(E\) 中的每一个元素为一个有序二元组 \((u,v)\)，称作有向边或弧，在不引起混淆的情况下也可以称作边。

• 若 \(G\) 的每条边 \(e_k =(u_k,v_k)\) 都被赋予一个数作为该边的权，则称 \(G\) 为赋权图。如果这些权都是正实数，就称 \(G\) 为正权图。

拓扑排序

算法实现

拓扑排序是一种基于有向无环图 （DAG）的排序。

它不是对一个数列进行排序，而是对 DAG 上的点进行排序的一种算法。

先来看一下具体实现流程：

• 每次选择入度为 \(0\) 的点，然后删除这个点和它的出边。

• 重复上述过程直到这个 DAG 被删完。

拓扑排序的题目中，会规定点的经过顺序，如果它前面有点得经过，它的入度就大于 \(0\) 了。

拓扑排序的一个性质：拓扑排序的顺序不是唯一的。

比如说下面这张图，当我们选择入度为 \(0\) 的点 \(a\) 后，删除它本身与它的出边，此时我们有两种方案可选：

• 选择点 \(e\)。

• 选择点 \(b\)。

以此类推......

判断环

如果拓扑排序执行不下去了，说明图中有环。当然也可以用 Tarjan 找环。

DFS、BFS

深度优先搜索(DFS, Depth-First Search)

基本思想：

• 沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支
• 当节点v的所在边都已被探寻过，搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点

实现方式：

1. 递归实现
2. 使用栈的迭代实现

特点：

• 内存消耗相对较小（只需存储当前路径上的节点）
• 不能保证找到最短路径
• 适用于拓扑排序、连通性检测、寻找环路等问题

时间复杂度：

• 邻接表表示：\(O(|V| + |E|)\)。
• 邻接矩阵表示：\(O(|V|²)\)。

广度优先搜索(BFS, Breadth-First Search)

基本思想：

• 从根节点开始，沿着树的宽度遍历树的节点
• 如果所有节点均被访问，则算法中止

实现方式：

• 通常使用队列实现

特点：

• 可以找到从起点到其他所有节点的最短路径（无权图）
• 内存消耗较大（需要存储所有已访问节点）
• 适用于寻找最短路径、社交网络中的"好友推荐"等问题

时间复杂度：

• 邻接表表示：\(O(|V| + |E|)\)。
• 邻接矩阵表示：\(O(|V|²)\)。

对比总结

特性	DFS	BFS
数据结构	栈	队列
空间复杂度	\(O(h)\) (\(h\) 为树的高度)	\(O(w)\) (\(w\) 为树的宽度)
最短路径	不能保证	可以保证(无权图)
适用场景	拓扑排序、连通性检测等	最短路径、层级遍历等

两者都是图遍历的基本算法，选择哪种算法取决于具体问题和需求。

传递闭包

一种用 Floyd 实现的判断任意两点联通性的 \(O(n^3)\) 算法。

具体来说，原本 Floyd 的转移式为 f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);，传递闭包的转移式则为 f[i][j]|=(f[i][k]&f[k][j]);，很好理解，把加法换成了位运算而已。

传递闭包还可以用 bitset 优化成 \(O(\frac{n^3}{\omega})\)，具体见这篇题解。