机器学习|线性回归算法详解 (Python 语言描述)

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线性回归

线性回归是一种较为简单，但十分重要的机器学习方法。掌握线性的原理及求解方法，是深入了解线性回归的基本要求。除此之外，线性回归也是监督学习回归部分的基石。

线性回归介绍

在了解线性回归之前，我们得先了解分类和回归问题的区别。

首先，回归问题和分类问题一样，训练数据都包含标签，这也是监督学习的特点。而不同之处在于，分类问题预测的是类别，回归问题预测的是连续值。

例如，回归问题往往解决：

• 股票价格预测
• 房价预测
• 洪水水位线

上面列举的问题，我们需要预测的目标都不是类别，而是实数连续值。

也就是说，回归问题旨在实现对连续值的预测，例如股票的价格、房价的趋势等。比如，下方展现了一个房屋面积和价格的对应关系图。

如上图所示，不同的房屋面积对应着不同的价格。现在，假设我手中有一套房屋想要出售，而出售时就需要预先对房屋进行估值。于是，我想通过上图，也就是其他房屋的售价来判断手中的房产价值是多少。应该怎么做呢？

我采用的方法是这样的。如下图所示，首先画了一条红色的直线，让其大致验证橙色点分布的延伸趋势。然后，我将已知房屋的面积大小对应到红色直线上，也就是蓝色点所在位置。最后，再找到蓝色点对应于房屋的价格作为房屋最终的预估价值。

在上图呈现的这个过程中，通过找到一条直线去拟合数据点的分布趋势的过程，就是线性回归的过程。而线性回归中的「线性」代指线性关系，也就是图中所绘制的红色直线。

此时，你可能心中会有一个疑问。上图中的红色直线是怎么绘制出来的呢？为什么不可以像下图中另外两条绿色虚线，而偏偏要选择红色直线呢？

上图中的绿色虚线的确也能反应数据点的分布趋势。所以，找到最适合的那一条红色直线，也是线性回归中需要解决的重要问题之一。

通过上面这个小例子，相信你对线性回归已经有一点点印象了，至少大致明白它能做什么。接下来的内容中，我们将了解线性回归背后的数学原理，以及使用 Python 代码对其实现。

线性回归原理及实现

一元线性回归

上面针对线性回归的介绍内容中，我们列举了一个房屋面积与房价变化的例子。其中，房屋面积为自变量，而房价则为因变量。另外，我们将只有 1 个自变量的线性拟合过程叫做一元线性回归。

下面，我们就生成一组房屋面积和房价变化的示例数据。x 为房屋面积，单位是平方米; y 为房价，单位是万元。

import numpy as np

x = np.array([56, 72, 69, 88, 102, 86, 76, 79, 94, 74])
y = np.array([92, 102, 86, 110, 130, 99, 96, 102, 105, 92])

示例数据由 10 组房屋面积及价格对应组成。接下来，通过 Matplotlib 绘制数据点，x, y 分别对应着横坐标和纵坐标。

from matplotlib import pyplot as plt
%matplotlib inline

plt.scatter(x, y)
plt.xlabel("Area")
plt.ylabel("Price")

正如上面所说，线性回归即通过线性方程（1 次函数）去拟合数据点。那么，我们令函数的表达式为：

$$y(x,w)=w_0+w_{1}x\text{\hspace{1em}(1)}$$

公式（1）是典型的一元一次函数表达式，我们通过组合不同的 $w_0$ 和 $w_1$ 的值得到不同的拟合直线。我们对公式（1）进行代码实现：

def f(x, w0, w1):
    y = w0 + w1 * x
    return y

那么，哪一条直线最能反应出数据的变化趋势呢？

如下图所示，当我们使用 $y(x,w)=w_0+w_{1}x$ 对数据进行拟合时，我们能得到拟合的整体误差，即图中蓝色线段的长度总和。如果某一条直线对应的误差值最小，是不是就代表这条直线最能反映数据点的分布趋势呢？

平方损失函数

正如上面所说，如果一个数据点为 ($x_i,y_i$)，那么它对应的误差就为:

$$y_i-(w_0+w_1{x}_i)\text{\hspace{1em}(2)}$$

上面的误差往往也称之为残差。但是在机器学习中，我们更喜欢称作「损失」，即真实值和预测值之间的偏离程度。那么，对应 n 个全部数据点而言，其对应的残差损失总和就为：

$$\sum _{i=1}^n(y_i-(w_0+w_1{x}_i))\text{\hspace{1em}(3)}$$
在线性回归中，我们更偏向于使用均方误差作为衡量损失的指标，而均方误差即为残差的平方和。公式如下：

$$\sum _{i=1}^n{(y_i-(w_0+w_1{x}_i))}^2\text{\hspace{1em}(4)}$$
对于公式（4）而言，机器学习中有一个专门的名词，那就是「平方损失函数」。而为了得到拟合参数 $w_0$ 和 $w_1$ 最优的数值，我们的目标就是让公式（4）对应的平方损失函数最小。

同样，我们可以对公式（4）进行代码实现：

def square_loss(x, y, w0, w1):
    loss = sum(np.square(y - (w0 + w1*x)))
    return loss

最小二乘法及代数求解

最小二乘法是用于求解线性回归拟合参数 $w$ 的一种常用方法。最小二乘法中的「二乘」代表平方，最小二乘也就是最小平方。而这里的平方就是指代上面的平方损失函数。

简单来讲，最小二乘法也就是求解平方损失函数最小值的方法。那么，到底该怎样求解呢？这就需要使用到高等数学中的知识。推导如下：

首先，平方损失函数为：

$$f=\sum _{i=1}^n{(y_i-(w_0+w_1{x}_i))}^2\text{\hspace{1em}(5)}$$
我们的目标是求取平方损失函数 $min(f)$ 最小时，对应的 $w$。首先求 $f$ 的 1 阶偏导数：

$$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial w_0}=-2(\sum _{i=1}^n{y}_i-n{w}_0-w_1\sum _{i=1}^n{x}_i) \\ \frac{\partial f}{\partial w_1}=-2(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-w_0\sum _{i=1}^n{x}_i-w_1\sum _{i=1}^n{x_i}^2)\text{\hspace{1em}(6)} \end{gathered}$$
然后，我们令 $\frac{\partial f}{\partial w_0}=0$ 以及 $\frac{\partial f}{\partial w_1}=0$，解得：
$$\begin{gathered} w_1=\frac{n{\sum }_{}^{}{x}_i{y}_i-{\sum }_{}^{}{x}_i{\sum }_{}^{}{y}_i}{n{\sum }_{}^{}{x_i}^2-({\sum }_{}^{}{x}_i{)}^2} \\ {w}_0=\frac{{\sum }_{}^{}{x_i}^2{\sum }_{}^{}{y}_i-{\sum }_{}^{}{x}_i{\sum }_{}^{}{x}_i{y}_i}{n{\sum }_{}^{}{x_i}^2-({\sum }_{}^{}{x}_i{)}^2}\text{\hspace{1em}(7)} \end{gathered}$$
到目前为止，已经求出了平方损失函数最小时对应的 $w$ 参数值，这也就是最佳拟合直线。

线性回归 Python 实现

我们将公式（7）求解得到 $w$ 的过程进行代码实现：

def w_calculator(x, y):
    n = len(x)
    w1 = (n*sum(x*y) - sum(x)*sum(y))/(n*sum(x*x) - sum(x)*sum(x))
    w0 = (sum(x*x)*sum(y) - sum(x)*sum(x*y))/(n*sum(x*x)-sum(x)*sum(x))
    return w0, w1

于是，可以向函数 w_calculator(x, y) 中传入 x 和 y 得到 $w_0$ 和 $w_1$ 的值。

w_calculator(x, y)

(41.33509168550616, 0.7545842753077117)

当然，我们也可以求得此时对应的平方损失的值：

w0 = w_calculator(x, y)[0]
w1 = w_calculator(x, y)[1]

square_loss(x, y, w0, w1)

447.69153479025357

接下来，我们尝试将拟合得到的直线绘制到原图中：

x_temp = np.linspace(50,120,100) # 绘制直线生成的临时点

plt.scatter(x, y)
plt.plot(x_temp, x_temp*w1 + w0, 'r')

从上图可以看出，拟合的效果还是不错的。那么，如果你手中有一套 150 平米的房产想售卖，获得预估报价就只需要带入方程即可：

f(150, w0, w1)

154.5227329816629

这里得到的预估售价约为 154 万元。

线性回归 scikit-learn 实现

上面的内容中，我们学习了什么是最小二乘法，以及使用 Python 对最小二乘线性回归进行了完整实现。那么，我们如何利用机器学习开源模块 scikit-learn 实现最小二乘线性回归方法呢？

使用 scikit-learn 实现线性回归的过程会简单很多，这里要用到 LinearRegression() 类。看一下其中的参数：

sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True, normalize=False, copy_X=True, n_jobs=1)

其中：

• fit_intercept: 默认为 True，计算截距项。
• normalize: 默认为 False，不针对数据进行标准化处理。
• copy_X: 默认为 True，即使用数据的副本进行操作，防止影响原数据。
• n_jobs: 计算时的作业数量。默认为 1，若为 -1 则使用全部 CPU 参与运算。

"""scikit-learn 线性回归拟合
"""

from sklearn.linear_model import LinearRegression

# 定义线性回归模型
model = LinearRegression()
model.fit(x.reshape(len(x),1), y) # 训练, reshape 操作把数据处理成 fit 能接受的形状

# 得到模型拟合参数
model.intercept_, model.coef_

(41.33509168550615, array([0.75458428]))

我们通过 model.intercept_ 得到拟合的截距项，即上面的 $w_0$，通过 model.coef_ 得到 $x$ 的系数，即上面的 $w_1$。对比发现，结果是完全一致的。

同样，我们可以预测 150 平米房产的价格：

model.predict([[150]])

array([154.52273298])

可以看到，这里得出的结果和自行实现计算结果一致。

最小二乘法的矩阵推导及实现

学习完上面的内容，相信你已经了解了什么是最小二乘法，以及如何使用最小二乘法进行线性回归拟合。上面，实验采用了求偏导数的方法，并通过代数求解找到了最佳拟合参数 w 的值。

这里，我们尝试另外一种方法，即通过矩阵的变换来计算参数 w 。推导如下：

首先，一元线性函数的表达式为 $y(x,w)=w_0+w_{1}x$，表达成矩阵形式为：

$$\left[\begin{array}{c}1,x_1\\ 1,x_2\\ ...\\ 1,x_9\\ 1,x_{10}\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}{w}_0\\ w_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ...\\ y_9\\ y_{10}\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{c}1,56\\ 1,72\\ ...\\ 1,94\\ 1,74\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}{w}_0\\ w_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}92\\ 102\\ ...\\ 105\\ 92\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(8a)}$$

即：
$$y(x,w)=XW\text{\hspace{1em}(8b)}$$

（8）式中，W 为 $\left[\begin{array}{c}{w}_0\\ w_1\end{array}\right]，而，而X则是则是\left[\begin{array}{c}1,x_1\\ 1,x_2\\ ...\\ 1,x_9\\ 1,x_{10}\end{array}\right]$ 矩阵。然后，平方损失函数为：
$$f=\sum _{i=1}^n{(y_i-(w_0+w_1{x}_i))}^2=(y-XW{)}^T(y-XW)\text{\hspace{1em}(9)}$$
此时，对矩阵求偏导数（超纲）得到：

$$\frac{\partial f}{\partial W}=2\ast X^{T}XW-2\ast X^{T}y=0\text{\hspace{1em}(10)}$$
当矩阵 $X^{T}X$ 满秩（不满秩后面的实验中会讨论）时，$(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}X=E$，且 $EW=W$。所以，$(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}XW=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$。最终得到：
$$W=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y\text{\hspace{1em}(11)}$$
我们可以针对公式（11）进行代码实现：

def w_matrix(x, y):
    w = (x.T * x).I * x.T * y
    return w

我们针对原 x 数据添加截距项系数 1。

x = np.matrix([[1,56],[1,72],[1,69],[1,88],[1,102],[1,86],[1,76],[1,79],[1,94],[1,74]])
y = np.matrix([92, 102, 86, 110, 130, 99, 96, 102, 105, 92])

w_matrix(x, y.reshape(10,1))

matrix([[41.33509169],
        [ 0.75458428]])

可以看到，矩阵计算结果和前面的代数计算结果一致。你可能会有疑问，那就是为什么要采用矩阵变换的方式计算？一开始学习的代数计算方法不好吗？

其实，并不是说代数计算方式不好，在小数据集下二者运算效率接近。但是，当我们面对十万或百万规模的数据时，矩阵计算的效率就会高很多，这就是为什么要学习矩阵计算的原因。

参考：

• 最小二乘法-维基百科
• 线性回归-维基百科
• 知乎问答-最小二乘法的本质是什么？