3.3 底和顶的递归式

\(1\)：再探约瑟夫问题。
\(n\)个人围一圈，\(1,2,3\)依次报数，报到\(3\)的出局，问最后剩下人的编号。
假设\(n=10\)，将人从左到右排成一行，初始编号为\(1,2,...,10\)，编号为\(3\)的倍数的人出局。
将第一轮剩下的人\(1,2,4,5,7,8,10\)从\(11\)开始重新编号，为\(11,12,13,15,16,17\)，其中编号为\(3\)的倍数的人出局。
依此重复上述过程，直到最后一人出局停止。
观察前后两轮同一人的编号，则有\(N=n+10-\lfloor \frac{n}{3} \rfloor\)，这是因为每轮编号增加\(10\)，但其中有\(\lfloor \frac{n}{3} \rfloor\)个人已经出局。
令\(f(x)\)表示编号\(x\)的下一个编号，显然只有\(f(3k+1)\)和\(f(3k+2)\)有意义。
而\(f(3k+1)=3k+1+10-k=2k+1+10\)。
\(f(3k+2)=3k+2+10-k=2k+2+10\)。
那么已知\(N\)求\(n\)，有\(k=\frac{N-10-x}{2},n=3k+x\)，其中\(x\)取值需在满足\(k\)是整数的情况下尽可能小且不为\(0\)。
那么可以直接写成\(k=\lfloor \frac{N-10-1}{2} \rfloor,x=N-10-2k,n=3k+x\)。

现在来形式化给出问题的解，设当前有初始有\(n\)个人，报到\(m\)的出局的约瑟夫游戏。
求第\(i\)个人是第几个出局的，令\(t=i\)，进行迭代\(t'=t+n-\lfloor \frac{n}{m} \rfloor\)。
当\(t\)为\(m\)倍数时，迭代停止，此时\(\frac{t}{m}\)就是答案。
求第\(i\)个出局的是哪个人，令\(t=im\)，进行迭代\(k=\lfloor \frac{t-n-1}{m-1}\rfloor,x=t-n-(m-1)k,t'=mk+x\)。
当\(t\in [1,n]\)时，迭代停止，此时\(t\)就是答案。
以上两种求法，复杂度均为\(O(mlog(nm))\)。

关于复杂度分析，两种求法互逆，故相同。
对于第二种求法，考虑其最劣情况，即当\(i=n\)时的复杂度。
进一步改写迭代式，可写成\(t'=\lfloor \frac{t-n-1}{m-1} \rfloor +t-n\)的形式。
进行变量代换，\(D=3n+1-t\)，即\(t=3n+1-D\)的形式，经过一系列化简，迭代式可写成：
\(D=1,D=\lceil \frac{m}{m-1}D \rceil\)的形式，当\(D\geq (m-1)n\)时停止，答案为\(mn+1-D\)。
将\(D\)近似成等比数列求解，可解得轮数约为\(\frac{ln(i(m-1))}{ln(m)-ln(m-1)}\)。
而\(\frac{1}{ln(m)-ln(m-1)}=m\)，故总复杂度为\(O(mlog(nm))\)。

可出题：给定\(n,m\)的约瑟夫游戏，询问第\(x\)个人是第几个出局的，以及第\(y\)个出局的人是哪个人。
\(1\leq n\leq 10^{12},1\leq m\leq 10^6\)，要求复杂度\(O(mlog(nm))\)。