3.2 底和顶的应用

\(1\)：\(x\)的二进制数的位数为\(\lfloor log_{2}x\rfloor +1\)。

\(2\)：证明\(\lfloor \sqrt{\lfloor x \rfloor} \rfloor=\lfloor \sqrt{x} \rfloor\)。
令\(m=\lfloor \sqrt{\lfloor x \rfloor} \rfloor\)，则有\(m\leq \sqrt{\lfloor x \rfloor}<m+1\)。
两边同时平方得，\(m^2\leq \lfloor x\rfloor<(m+1)^2\)，即\(m^2\leq x<(m+1)^2\)。
两边同时开方得，\(m\leq \sqrt{x}<m+1\)，即\(m\leq \lfloor \sqrt{x}\rfloor<m+1\)。
由于\([m,m+1)\)内仅有\(m\)一个整数，故\(\lfloor \sqrt{x}\rfloor=m\)。

抽象来说，若\(f(x)\)连续单调递增，且\(f(x)\)为整数\(\Longrightarrow x\)是整数：
则有\(\lfloor f(x)\rfloor=\lfloor f(\lfloor x\rfloor)\rfloor\)和\(\lceil f(x)\rceil=\lceil f(\lceil x\rceil)\rceil\)成立。
一个重要的特殊形式是\(\lfloor \frac{x+n}{m}\rfloor=\lfloor \frac{\lfloor x\rfloor+n}{m}\rfloor\)和\(\lceil \frac{x+n}{m}\rceil=\lceil \frac{\lceil x\rceil+n}{m}\rceil\)。

\(3\)：用底和顶表示区间整数个数。
\([a,b)\)：\(a\leq n<b \Longleftrightarrow \lceil a\rceil \leq n<\lceil b\rceil,cnt=\lceil b\rceil - \lceil a\rceil\)。
\((a,b]\)：\(a<n\leq b \Longleftrightarrow \lfloor a\rfloor <n\leq \lfloor b\rfloor,cnt=\lfloor b\rfloor - \lfloor a\rfloor\)。
\((a,b)\)：\(a<n<b \Longleftrightarrow \lfloor a\rfloor <n<\lceil b\rceil,cnt=\lceil b\rceil - \lfloor a\rfloor -1\)。
\([a,b]\)：\(a\leq n\leq b \Longleftrightarrow \lceil a\rceil \leq n\leq \lfloor b\rfloor,cnt=\lfloor b\rfloor-\lceil a\rceil+1\)。

例：计算\(1\sim 1000\)中满足\(\lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor \mid n\)的个数。
显然，当\(i\in [k^3,(k+1)^3-1]\)时，\(\lfloor \sqrt[3]{i} \rfloor=k\)。
故即求\(\sum_{i=1}^{9} \sum_{j=i^3}^{(i+1)^3-1} [i \mid j]=\sum_{i=1}^{9} \lceil \frac{(i+1)^3-i^3}{i} \rceil\)。
\(=\sum_{1}^{9} \lceil 3i+3+\frac{1}{i} \rceil=\sum_{i=1}^{9} 3i+4=4*9+3*\frac{9*10}{2}=171\)。
最后别忘了计算最后一个不完整区间，本题中区间为\([1000,1000]\)，而\(10 \mid 1000\)，满足题意，故答案为\(172\)。

可出题：\(O(1)\)计算\(\sum_{i=1}^{n} [\lfloor \sqrt[3]{i} \rfloor \mid i]\)。

\(4\)：实数的谱。
定义\(spec(a)=\{\lfloor a\rfloor,\lfloor 2a\rfloor,...\}\)称为实数\(a\)的谱。

以下有一些关于谱的有趣性质。
性质一：若\(a\neq b\)，则\(spec(a)\neq spec(b)\)。
证：不妨设\(a<b\)，则\(b-a>0\)，则存在\(m\)，使得\(m(b-a)>1\)，则\(\lfloor ma\rfloor \neq \lfloor mb\rfloor\)。

性质二：\(spec(\sqrt 2)\)和\(spec(2+\sqrt 2)\)完成了对整数的划分。
\(spec(\sqrt 2)= \{1,2,4,5,7,8,9,11,12,14,15,16,18,19,21,22,24,...\}\)。
\(spec(2+\sqrt 2)=\{3,6,10,13,17,20,23,27,30,34,37,40,44,47,51,...\}\)。
先证明对任意\(n\)，设\(spec(\sqrt 2)\)中\(\leq n\)的元素个数为\(num_1\)，\(spec(2+\sqrt 2)\)中\(\leq n\)的元素个数为\(num_2\)，则有\(num_1+num_2=n\)。
若满足以上性质，再运用数学归纳法，可得到每个整数恰好属于两集合之一，也就说明两集合完成了对整数的划分。
定义\(N(a,n)\)为在\(spec(a)\)中\(\leq n\)的元素个数。
\(\lfloor ka \rfloor \leq n\)，即\(\lfloor ka\rfloor <n+1\)，则有\(k<\frac{n+1}{a}\)。
则\(k\in(0,\frac{n+1}{a})\)，则\(cnt=\lceil \frac{n+1}{a} \rceil - \lfloor 0\rfloor -1\)。
则\(N(\sqrt 2,n)+N(2+\sqrt 2,n)=\lceil \frac{n+1}{\sqrt 2} \rceil+\lceil \frac{n+1}{2+\sqrt 2} \rceil-2\)。
由于\(\lceil \frac{n+1}{\sqrt 2} \rceil,\lceil \frac{n+1}{2+\sqrt 2}\rceil\)都不为整数，故\(N(\sqrt 2,n)+N(2+\sqrt 2,n)=\lfloor \frac{n+1}{\sqrt 2} \rfloor+\lfloor \frac{n+1}{2+\sqrt 2}\rfloor=\frac{n+1}{\sqrt 2}-\{\frac{n+1}{\sqrt 2}\}+\frac{n+1}{2+\sqrt 2}-\{\frac{n+1}{2+\sqrt 2}\}\)。
由于\(\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{2+\sqrt 2}=1\)，则\(N(\sqrt 2,n)+N(2+\sqrt 2,n)=n+1-\{\frac{n+1}{\sqrt 2}\}-\{\frac{n+1}{2+\sqrt 2}\}\)。
而\(\{\frac{n+1}{\sqrt 2}\}+\{\frac{n+1}{2+\sqrt 2}\}\)是大于\(0\)小于\(2\)的整数，故只能取\(1\)，则有\(N(\sqrt 2,n)+N(2+\sqrt 2,n)=n\)。

可出题：求\(\{\lfloor k\sqrt2 \rfloor\}\cup \{\lfloor k(2+\sqrt2)\rfloor\}\)中\(\leq n\)的元素个数，其中\(k\in\{1,2,...\}\)。