3.1 底和顶的概念，以及常用不等式

底：\(\lfloor x \rfloor\)代表小于等于\(x\)的最大整数。
顶：\(\lceil x \rceil\)代表大于等于\(x\)的最小整数。
建议分别手画\(y=\lfloor x \rfloor\)，\(y=x\)，\(y=\lceil x \rceil\)的图像，来加深对底和顶的理解。
通过图像，得不等式\({x-1<\lfloor x \rfloor\leq x\leq \lceil x \rceil<x+1}\)。
这个不等式很重要，需熟记熟用。

继续研究图像，将\(y=\lfloor x \rfloor\)图像沿\(x,y\)轴对称，得到\(y=\lceil x \rceil\)图像。
这说明\(\lfloor x \rfloor=-\lceil -x \rceil\)和\(\lceil x \rceil=-\lfloor -x \rfloor\)。
该等式常用于底和顶之间的相互转换。

令\(\lfloor x\rfloor =n\)，则有\(n\leq x<n+1,x-1<n\leq x\)。
令\(\lceil x\rceil =n\)，则有\(n-1<x\leq n,x\leq n<x+1\)。
以上成为极值不等式。

若\(n\)为整数，则有如下等价关系：
\(1\)：\(x<n \Longleftrightarrow \lfloor x\rfloor <n\)。
\(2\)：\(n<x \Longleftrightarrow n<\lceil x\rceil\)。
\(3\)：\(x\leq n \Longleftrightarrow \lceil x\rceil \leq n\)。
\(4\)：\(n\leq x \Longleftrightarrow n\leq \lfloor x\rfloor\)。
下证明\(1\)，其余类似。

\(x<n\Longrightarrow \lfloor x\rfloor < n\)：
由基本不等式知，\(x-1<\lfloor x\rfloor\)，即\(x<\lfloor x\rfloor +1\)。
由底的定义知，\(\lfloor x\rfloor +1\)为最小的大于\(x\)的整数，而\(n\)是大于\(x\)的整数，则有\(\lfloor x\rfloor +1\leq n\)，即\(\lfloor x\rfloor <n\)。

\(\lfloor x\rfloor < n\Longrightarrow x<n\)：
\(\lfloor x\rfloor\)和\(x\)之间没有除\(\lfloor x\rfloor\)外整数，而\(n\neq \lfloor x\rfloor\)，则\(n>x\)。