[ARC165E] Random Isolation 题解

AT_arc165_e [ARC165E] Random Isolation

看起来很典的 DP 题，但并不简单。

由于期望的线性性，套路地把期望拆到每个点上。设 \(E(x)\) 表示点 \(x\) 产生贡献的概率，则答案显然就是 \(\sum E(x)\)。至于求这个 \(E(x)\)，把操作转化为：对于随机的长度为 \(n\) 的排列 \(p\)，按照 \(p_1,p_2,\dots,p_n\) 的顺序依次考虑 \(p_i\) 所在连通块的大小，根据题目所给的方法进行操作。易得这样转化的做法正确，因为无效点一旦删去不会对之后答案产生影响。

那么，点 \(x\) 产生贡献当且仅当它所在的连通块大小 \(>k\)，现在问题变为，统计每个这样的连通块出现的概率。

设连通块大小为 \(x\)，与该连通块相连（不属于该连通块）的点的个数为 \(y\)，放到排列 \(p\) 上就是 \(\boldsymbol x\) 个节点在 \(\boldsymbol y\) 个节点之后的概率，易得这个概率为 \(\dfrac{x!y!}{(x+y)!}\)。

那么现在只剩下最后一个任务就是统计每一种 \((x,y)\) 的连通块有多少个，到这一步就可以树上背包解决了。总复杂度 \(O(n^2k^2)\)。