0/1 分数规划

0/1 分数规划

0/1 分数规划模型是指，给定整数 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 和 \(b_1,b_2,\dots,b_n\)，求一组解 \(x_i\in[0,1]\)，使下式最大/最小化：

\[\frac{\sum_{i=1}^na_ix_i}{\sum_{i=1}^nb_ix_i} \]

换句话说，选一定的 \(a_i\) 和 \(b_i\) 组成一个集合 \(S\)，求

\[\frac{\sum a_i\in S}{\sum b_i\in S} \]

的最值。

这种问题的一般解决方法是设答案为 \(\mathit{ans}\)，即

\[\mathit{ans}=\frac{\sum a_i}{\sum b_i}~, \]

然后将式子变形，得

\[\mathit{ans}\times\sum b_i+\sum a_i=0 \]

即

\[\sum(\mathit{ans}\times b_i+a_i)=0 \]

答案具有可二分性。所以我们解决这类问题的方法一般就是二分答案，初始 \(l=0,r=\infty\)，每次判定 \(\sum(\mathit{mid}\times b_i+a_i)\) 的正负，直到找到在误差范围内最接近的答案。复杂度是 \(O(\log V)\) 的。

还有一种更高级的方法叫做 Dinkelbach 迭代法，没用。

最优比率生成树

一般来说 0/1 分数规划不会直接考，而是套在一些别的东西中，比如最优比率生成树。题意一般是给定一个图，每条边有两个边权 \(a_i,b_i\)，求这张图的生成树的 \(\dfrac{\sum a_i}{\sum b_i}\)。

依然二分，每次跑一遍 Kruskal 求出上面那个式子，然后二分答案判定即可。

[ARC026D] 道を直すお仕事

板子题，但注意到这题并不要求一定是棵生成树，所以边权为负的边一定是会选的，把所有边权为负的边选完之后再判断边权为正的边选不选。

using ll=long long;
constexpr int MAXN=10005,MAXM=10005;
constexpr double eps=1e-6;
int n,m;
struct Edge{
	ll u,v,c,t;
}e[MAXM];
int f[MAXN];
int fnd(int x){
	return f[x]==x?x:f[x]=fnd(f[x]);
}
double kruskal(double x){
	iota(f+1,f+n+1,1);
	int s=0;
	for(int i=1;i<=m;++i) if(x*e[i].t-e[i].c>=-eps) ++s;
	sort(e+1,e+m+1,[&](const Edge&a,const Edge&b){
		return x*a.t-a.c>x*b.t-b.c;
	});
	double res=0;
	for(int i=1;i<=s;++i){
		f[fnd(e[i].u)]=fnd(e[i].v);
		res+=x*e[i].t-e[i].c;
	}
	for(int i=s+1;i<=m;++i){
		int fx=fnd(e[i].u),fy=fnd(e[i].v);
		if(fx==fy) continue;
		f[fy]=fx;
		res+=x*e[i].t-e[i].c;
	}
	return res;
}

int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i) e[i]={read()+1,read()+1,read(),read()};
	double l=0,r=1e18;
	while(r-l>eps){
		double mid=(l+r)/2;
		if(kruskal(mid)<-eps) l=mid;
		else r=mid;
	}
	printf("%.4f\n",l);
	return 0;
}

P4951 [USACO01OPEN] Earthquake

这道题求的是 \(\dfrac{F-\sum a_i}{\sum b_i}\)。同理，将原式变换为 \(F=\sum(\mathit{ans}\times b_i+a_i)\)，每次二分答案判定和 \(F\) 的大小关系即可。