[NOIP2012 提高组] 国王游戏 题解

[NOIP2012 提高组] 国王游戏

典贪心。设当前点为 \(i\)，\(\prod_{k=0}^{i-1}a_k\) 为 \(x\)，则对于 \(i,j\) 两点的答案：（为了方便，记 \(i+1=j\)）

\[\mathit{res}_1=\max\bigg(\dfrac x{b_i},\dfrac{xa_i}{b_j}\bigg)~; \]

若交换，则：

\[\mathit{res}_2=\max\bigg(\dfrac x{b_j},\dfrac{xa_j}{b_i}\bigg)~. \]

假设不交换更大，则：

\[\max\bigg(\dfrac x{b_i},\dfrac{xa_i}{b_j}\bigg)>\max\bigg(\dfrac x{b_j},\dfrac{xa_j}{b_i}\bigg) \]

显然两个 \(\max\) 满足对称性，不妨设 \(\dfrac x{b_i}<\dfrac{xa_i}{b_j}\)。又因为都是正整数，所以 \(\dfrac{xa_i}{b_j}>\dfrac x{b_j}\)。那么使该式成立当且仅当

\[\dfrac{xa_i}{b_j}>\dfrac{xa_j}{b_i}~. \]

消去 \(x\)，移项，就得到：

\[a_ib_i>a_jb_j~. \]

因为国王要求答案最小，所以按照 \(a_ib_i<a_jb_j\) 来排序之后统计答案即可。

高精度去死！

#include<bits/stdc++.h>
#define fw fwrite(obuf,p3-obuf,1,stdout)
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
#define putchar(x) (p3-obuf<1<<20?(*p3++=(x)):(fw,p3=obuf,*p3++=(x)))
using namespace std;

char buf[1<<20],obuf[1<<20],*p1=buf,*p2=buf,*p3=obuf,str[20<<2];
int read(){
	int x=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return x;
}
template<typename T>
void write(T x,char sf='\n'){
	if(x<0)putchar('-'),x=~x+1;
	int top=0;
	do str[top++]=x%10,x/=10;while(x);
	while(top)putchar(str[--top]+48);
	if(sf^'#')putchar(sf);
}
constexpr int MAXN=1005;
int n;
struct P{
	int a,b;
	bool operator<(const P&x)const{
		return a*b<x.a*x.b;
	}
}p[MAXN];
struct BIG{
	int s[MAXN<<2],len;
	BIG(){
		memset(s,0,sizeof(s));
		len=0;
	}
	BIG operator=(int x){
		BIG res;
		do res.s[++res.len]=x%10,x/=10;while(x);
		return *this=res;
	}
	BIG(int x){
		*this=x;
	}
	bool operator<(const BIG&x)const{
		if(len^x.len) return len<x.len;
		for(int i=x.len;i;--i)
			if(s[i]^x.s[i])
				return s[i]<x.s[i];
		return 0;
	}
	void upd(){
		while(len>1&&!s[len]) --len;
	}
	BIG operator*(const BIG&x)const{
		BIG res;
		int l=len+x.len;
		for(int i=1;i<=len;++i)
			for(int j=1;j<=x.len;++j)
				res.s[i+j-1]+=s[i]*x.s[j];
		for(int i=1;i<=l;++i)
			if(res.s[i]>9)
				res.s[i+1]+=res.s[i]/10,res.s[i]%=10;
		res.len=l,res.upd();
		return res;
	}
	BIG operator/(const int&x)const{
		BIG res;
		int tmp=0,l=len;
		for(int i=l;i;--i){
			tmp=(tmp<<3)+(tmp<<1)+s[i];
			while(tmp>=x) res.s[i]+=tmp/x,tmp%=x;
		}
		res.len=l,res.upd();
		return res;
	}
	void write(){
		for(int i=len;i;--i) putchar(s[i]+48);
		putchar('\n');
	}
};

int main(){
	n=read();
	for(int i=0;i<=n;++i) p[i]={read(),read()};
	sort(p+1,p+n+1);
	BIG res=0,lhs=p[0].a;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		res=max(res,lhs/p[i].b);
		lhs=lhs*p[i].a;
	}
	res.write();
	return fw,0;
}