数论总结
数学是毒瘤
基础数论总结。
数论题的代码都是一个个板子拼起来的，本博客只放板子。
声明：本博客中出现的所有代码，都视为加入了 #define int long long
数论题的特点
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题目大意简洁易懂。
但有的题还是会古舟一堆 -
码量小，全是板子
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极其难想，需要手推公式
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long long 是标配
筛法
筛法可以储存所有的质数，也可以 \(O(1)\) 判断质数。
埃氏筛法
时间复杂度 \(O(N\log\log N)\)。
vector<int> pri;
bool is_prime[MAXN];
void primes(int n) {
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (is_prime[i]) continue;
pri.push_back(i);
for (int j = i; j <= n / i; j++) is_prime[i * j] = 1;
}
}
线性筛法
线性筛法，也称欧拉筛法，时间复杂度 \(O(N)\)。
vector<int> pri;
bool is_prime[MAXN];
void primes(int n) {
for (auto &x : is_prime) x = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (is_prime[i]) pri.push_back(i);
for (auto j : pri) {
if (i * j > n) break;
is_prime[i * j] = 0;
if (i % j == 0) break;
}
}
}
分解质因数
任何一个大于 \(1\) 的正整数 \(N\) 都能唯一分解为有限个质数的乘积，可写作：\(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_m^{c_m}\)。
其中 \(c_i\) 都是正整数，\(p_i\) 都是质数，且满足 \(p_1<p_2<\cdots<p_m\)。
算术基本定理的推论
\(N\) 的正约数个数为：
\(N\) 的所有正约数的和为：
试除法分解质因数
int m, p[MAXN], c[MAXN];
void divide(int n) {
m = 0;
for (int i = 2; i * i <= n; i++)
if (n % i == 0) {
p[++m] = i, c[m] = 0;
while (n % i == 0) {
n /= i;
c[m]++;
}
}
if (n > 1) p[++m] = n, c[m] = 1;
}
最大公约数
欧几里得算法
即辗转相除法，时间复杂度 \(O(\log N)\)。
inline int gcd(int a, int b) {
if (b == 0) return a;
return gcd(b, a % b);
}
欧拉函数
定义
定义 \(\varphi(n)\) 表示的是小于等于 \(n\) 和 \(n\) 互质的数的个数。
例如 \(\varphi(1)=1\)。
当 \(n\) 是质数的时候，显然有 \(\varphi(n) = n - 1\)。
2024/7/11 upd. 欧拉函数的公式如下：（其中 \(p_{1\dots m}\) 为 \(x\) 的所有质因数）
\[\varphi(n)=n\times\prod_{i=1}^m\left(1-\frac1{p_i}\right) \]
单个数求欧拉函数
inline int euler_phi(int x) {
int res = x;
for (int i = 2; i * i <= x; i++)
if (x % i == 0) {
res = res / i * (i - 1);
while (x % i == 0) x /= i;
}
if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
return res;
}
筛法求欧拉函数
利用线性筛法可以快速求出多个数的欧拉函数值。
constexpr int MAXN = 5e6 + 5;
vector<int> prime;
int phi[MAXN];
void euler(int n) {
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!phi[i]) {
prime.push_back(i);
phi[i] = i - 1;
}
for (auto j : prime) {
if (i * j > n) break;
if (i % j != 0)
phi[i * j] = phi[i] * phi[j];
else {
phi[i * j] = phi[i] * j;
break;
}
}
}
}
扩展欧拉定理
欧拉定理
若正整数 \(a,n\) 互质，则 \(a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod{n}\)。
欧拉定理的推论
若正整数 \(a,n\) 互质，则对于任意正整数 \(b\)，有 \(a^b\equiv a^{b\bmod\varphi(n)}\pmod{n}\)。
当 \(a,n\) 不一定互质且 \(b>\varphi(n)\) 时，有 \(a^b\equiv a^{(b\bmod\varphi(n))+\varphi(n)}\pmod{n}\)。
扩展欧拉定理可用于解决大整数乘方取模问题。
扩展欧几里得
裴蜀定理
对于任意整数 \(a,b\)，存在一对整数 \(x,y\)，满足 \(ax+by=\gcd(a,b)\)。
扩展欧几里得算法可以在求得 \(\gcd(a,b)\) 的前提下，求解形如 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的方程的解。
由于形如 \(ax\equiv b\pmod p\) 的线性同余方程可以改写为 \(ax+pk=b\) 的形式，所以线性同余方程也可用扩展欧几里得求解。当然，由裴蜀定理，有整数解的充要条件为 \(\boldsymbol{\gcd(a,p)\mid b}\)。线性同余方程也可用逆元求解。计算 \(a\) 的逆元，然后两边同除以 \(a\) 的逆元可得到一个解。
扩展欧几里得算法同样可以求单个数的乘法逆元。
2025/5/29 upd.
若线性同余方程有解，其中一个解为 \(\dfrac{x\times b}{\gcd(a,p)}\)，通解为 \(x_i=\dfrac{x\times b}{\gcd(a,p)}+\dfrac p{\gcd(a,p)}\times i\)。
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if (!b) return x = 1, y = 0, a;
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return d;
}
乘法逆元
费马小定理
若 \(p\) 是质数且 \(a,p\) 互质，则 \(a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}\)。
另一个形式：对于任意整数 \(a\)，有 \(a^p\equiv a\pmod{p}\)。
定义
如果一个线性同余方程 \(ax \equiv 1 \pmod b\)，则 \(x\) 称为 \(a \bmod b\) 的逆元，记作 \(a^{-1}\pmod{b}\)。其实就是倒数
若 \(\boldsymbol b\) 是质数且 \(\boldsymbol{a<b}\)，由费马小定理，易得 \(\boldsymbol{a^{b-2}}\) 即为乘法逆元。
如果只是保证 \(a,b\) 互质，则我们可以通过求解同余方程 \(ax\equiv 1\pmod b\) 得到乘法逆元。
扩展欧几里得求单个数的乘法逆元
参见上文，不再赘述。
费马小定理求逆元
参见上文，代码如下：
inv[0] = 1;
for (int i = 1; i < MAXN; i++) inv[i] = power(i, MOD - 2, MOD);
时间复杂度 \(O(N\log N)\)，可以在数据规模不大于 \(10^6\) 时求出逆元。
线性求逆元
求 \(1\dots n\) 中所有整数在模 \(p\) 意义下的乘法逆元。
\(1\le n\le 3\times 10^6\)，\(n<p<20000528\)，保证 \(p\) 为质数。
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
constexpr int MAXN = 3e6 + 5;
int n, p, inv[MAXN];
signed main() {
cin >> n >> p;
inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
for (int i = 1; i <= n; i++) cout << inv[i] << '\n';
return 0;
}
中国剩余定理
引入
「物不知数」问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
定义
中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 \(n_1, n_2, \cdots, n_k\) 两两互质）：
上面的「物不知数」问题就是一元线性同余方程组的一个实例。
过程
- 计算所有模数的积 \(n\)；
- 对于第 \(i\) 个方程：
- 计算 \(m_i=n/n_i\)；
- 计算 \(m_i\) 在模 \(n_i\) 意义下的逆元 \(m_i^{-1}\)；
- 计算 \(c_i=m_im_i^{-1}\)（不要对 \(\boldsymbol{n_i}\) 取模）。
- 方程组在模 \(n\) 意义下的唯一解为：\(x=\sum_{i=1}^k a_ic_i \pmod n\)。
实现
int crt(int k, int r[], int a[]) {
int n = 1, ans = 0;
for (int i = 1; i <= k; i++) n *= r[i];
for (int i = 1; i <= k; i++) {
int m = n / r[i], b, y;
exgcd(m, r[i], b, y);
ans = (ans + a[i] * m * b % n) % n;
}
return (ans % n + n) % n;
}
扩展中国剩余定理（exCRT）
\(n_1,n_2,\dots,n_k\) 不互质怎么办呢？
先考虑只有两个方程的情况，设两个方程分别是 \(x\equiv a_1\pmod {n_1}\) 和 \(x\equiv a_2\pmod{n_2}\)。
将它们转化为不定方程：\(x=n_1p+a_1=n_2q+a_2\)，其中 \(p,q\in\mathbf Z\)，则有 \(n_1p-n_2q=a_2-a_1\)。
由裴蜀定理，当 \(a_2-a_1\) 不能被 \(\gcd(n_1,n_2)\) 整除时，无解。否则可以扩欧算出一组解 \((p,q)\)。
则原来的两方程组成的模方程组的解为 \(x\equiv b\pmod M\)，其中 \(b=n_1p+a_1\)，\(M=\operatorname{lcm}(n_1,n_2)\)。
那么多个方程呢？只需用上面的方法两两合并即可。
int excrt() {
int x, y;
int M = bi[1], ans = ai[1];
for (int i = 2; i <= n; i++) {
int a = M, b = bi[i], c = (ai[i] - ans % b + b) % b;
int gcd = exgcd(a, b, x, y), bg = b / gcd;
if (c % gcd != 0) return -1;
x = mul(x, c / gcd, bg);
ans += x * M;
M *= bg;
ans = (ans % M + M) % M;
}
return (ans % M + M) % M;
}
注意里面需要用到龟速乘。不过我直接 __int128。
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