麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布函数 + 齐奥尔科夫斯基火箭方程

这个速度分布律指出，在平衡态下，气体分子速率在 \(v\) 到 \(v+\mathrm dv\) 区间内的分子数占总分子数的百分比为

\[\frac{\mathrm dN_v}N=4\pi\left(\frac m{2\pi kT}\right)^{3/2}v^2\mathrm e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\mathrm dv \]

故有分布函数为

\[f(v)=4\pi\left(\frac m{2\pi kT}\right)^{3/2}v^2\mathrm e^{-\frac{mv^2}{2kT}} \]

闲着也是闲着，我们不如给大家进一步推导一下它的性质。

比如最概然速率应有 \(\dfrac{\mathrm df(v_p)}{\mathrm dv}=0\)，进而求得

\[v_p=\sqrt\frac{2kT}m=\sqrt\frac{2RT}M,f(v_p)=\frac1{\mathrm e}\left(\frac{8m}{\pi kT}\right)^{1/2} \]

再比如平均速率有 \(\bar v=\int_0^\infty vf(v)\mathrm dv\)，代入有

\[\bar v=\sqrt\frac{8kT}{\pi m}=\sqrt\frac{8RT}{\pi M} \]

还可以求方均根速率 \(v_\textit{rms}=\sqrt{\bar v^2}=\sqrt{\dfrac{3kT}{m}}=\sqrt{\dfrac{3RT}M}\)，参数 \(k=1.38\times10^{-23}~\text{J/K}\)，分子质量大家自己查，代入求得。

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理想假设火箭在自由空间飞行，不受引力和阻力。

设 \(t\) 时刻火箭质量为 \(M\)，速率为 \(v\)，总动量 \(Mv\)。经过 \(\mathrm dt\) 时间，火箭喷出质量 \(\mathrm dm\) 的气体，速率相对火箭为 \(u\)。

从而在 \(t+\mathrm dt\) 时刻，火箭速率变为 \(v+\mathrm dv\)。此时总动量为 \(\mathrm dm(v-u)+(M-\mathrm dm)(v+\mathrm dv)\)。

一个巧妙的定理，因为喷出气体质量 \(\mathrm dm\) 等于火箭质量的减少即 \(-\mathrm dM\)，故由动量守恒

\[-\mathrm dM(v-u)+(M+\mathrm dM)(v+\mathrm dv)=Mv \]

展开，略去二阶无穷小得

\[u\mathrm dM+M\mathrm dv=0,\text{即}~\mathrm dv=-u\frac{\mathrm dM}M \]

看着超简单吼，一通积分猛如虎 \(\int_{v_i}^{v_f}\mathrm dv=-u\int_{M_i}^{M_f}\dfrac{\mathrm dM}M\)，得

\[\Delta v=u\ln\frac{M_i}{M_f} \]

这就是齐奥尔科夫斯基方程。它表明，火箭在燃料燃烧后增加的速率与喷气速率成正比，与火箭始末质量比的对数成正比。

更复杂地，我们考虑火箭在有重力的情况下以一定角度上升。（此处省略一张图）

初质量为 \(m\)，速度为 \(u\)。末了喷出 \(\mathrm dm\) 的气体，相对速度为 \(u_e\)。其动量的变化为

\[\Delta p=(M-\mathrm dm)(u+\mathrm du)+\mathrm dm(u-u_e)-mu=M\mathrm du-u_e\mathrm dm \]

而合外力为

\[\sum F=(p_e-p_0)A_e-D-Mg\cos\theta \]

故有

\[[(p_e-p_0)A_e-D-Mg\cos\theta]\mathrm dt=M\mathrm du-u_e\mathrm dm \]

和前面的推导一样，有 \(\mathrm dm=-\mathrm dM\)，从而代入有

\[M\mathrm du=\left[(p_e-p_0)A_e-\frac{\mathrm dM}{\mathrm dt}u_e-D-Mg\cos\theta\right]\mathrm dt \]

若认为压强没啥区别，则有

\[\mathrm du=-\frac{u_e}M\mathrm dM-\frac DM\mathrm dt-g\cos\theta\mathrm dt \]

在简单的情况下，初速度为 \(0\)，不考虑角度问题，则又可化简为

\[u=u_e\ln\frac{M_0}M-gt \]

算半天其实也就多个 \(gt\)，没啥特别的……

如果认为燃料的消耗率是一个定值，\(M=M_0-at\)，\(u=u_e\ln\dfrac{M_0}{M_0-at}-gt\)，积分得

\[h=u_et-\frac{M_0-at}au_e\ln\frac{M_0}{M_0-at}-\frac12gt^2 \]

这就是火箭高度上升的规律。

当然，实际情况下，火箭有攻角，空气有阻力，飞高了重力加速度也不再是定值，多级火箭还要抛掉质量，谁爱算谁算吧。

按 BV1gx411Q72w 给出的 SpaceX 火箭的前 150 秒数据记录，火箭的高度变化如下。

（此处省略一张图）