DP 优化 - wqs 二分

WQS 二分又称带权二分和 dp 凸优化。

前排传送门：

https://www.cnblogs.com/alex-wei/p/DP_Involution.html

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适用性

该算法的使用特征显著：一般出现在强制某个值恰好 \(=x\) 或者 \(\leq m\) 或 \(\geq m\)。
具体地，可以是物体选取时必须选取 \(m\) 个；可以是二维 dp 某一维必须是 \(m\)。

wqs 二分应用在 1D dp / 2D dp 上。wqs 二分可以将二维 dp 的某一维扔掉（被限制的维度）。

同时，能应用 wqs 二分的东西 \(f(i)\)（1D / 1D dp，后者是二维扔了一维度之后的） 必须满足凸性。但是凸性不好证，于是使用打表和盲猜法：\(O(nk)\) 不能做的可以大胆猜想是凸。

思想

首先该函数 \(f(i)\) 满足凸性，尝试去刻画这个凸包，刻画成功后就能求出 \(f(i)\) 即 dp 值。

由于某个值被限制，考虑拿着一个直线去截这个凸包，因为是凸包，类比斜率优化的想法，这个交点一定是某种“最优”。然后对于这个直线，可以用类似斜率优化的方法求出它的 \(k\)（斜率，其实是传进去的）、\(x\)（交点，横坐标）、\(b\)（截距）。此时就能算出 \(x\) 点的纵坐标 \(f(i) = kx + b\)。

因为要求点 \((m, f(m))\)，所以我们要通过调整斜率 \(k\) 的方法，让直线切凸包于 \((m,f(m))\)，从而得到 \(f(m)\)。

然后因为这是个凸包，所以 \(k\) 和 \(x\) 是有关联的。

以下内容基于前提，钦定凸包是下凸包，上凸包简单类比即可。

此时如果交点 \(x \lt m\)，则 \(k\) 过小，要增大 \(k\)；

如果交点 \(x = m\)，恭喜找到答案；

如果交点 \(x \gt m\)，\(k\) 过大，减小 \(k\)。

所以这个外层可以二分解决。

内部的问题是在调整斜率后求最值切点，原来的 \((x,f(x))\) 变成 \((x,f(x)-xk)\)，然后类斜率优化去求就行了。

要注意的是，内部 \(f(i)\) 的 \(i\) 不一定是枚举的东西，而是一个被限制的那一维。