Raney 引理与一般循环引理

Raney 引理

定义

给定整数序列 \(a_1,\cdots,a_n\)，满足：

\[\sum_{i=1}^{n}{a_i} = 1 \]

在 \(a\) 的所有循环移位序列中，有且仅有一个序列满足所有前缀和严格大于零.

求解

令 \(pre_i = \sum_{j=1}^{i}{a_j}\)，\(T = \min_{i=0}^{n-1}{pre_i}\).

令 \([0,n-1]\) 中最后一个满足前缀和为 \(T\) 的位置为 \(s\)，则 \(a_{s+1},\cdots ,a_n,a_1,\cdots,a_s\) 为所求唯一序列.

一般循环引理

定义

给定整数序列 \(a_1,\cdots,a_n\)，满足：

\[a_i \le 1，\sum_{i=1}^{n}{a_i} = k \gt 0 \]

在 \(a\) 的所有循环移位序列中，有且仅有 \(k\) 个序列满足所有前缀和严格大于零.

求解

令 \(pre_i = \sum_{j=1}^{i}{a_j}\)，\(T = \min_{i=0}^{n-1}{pre_i}\).

在 \([0,n-1]\) 分别找到前缀和为 \(T,T+1,\cdots,T+k-1\) 的最后一个位置，这些位置的下一个位置即为 \(k\) 个合法的起点.

一般循环引理在计数的运用

核心结论为：

\[\text{合法序列数} = \text{总序列数} \times \frac{k}{n} \]

这里 \(n\) 是序列长度.

例如，推导卡特兰数公式：求 \(n\) 对括号构成合法括号序列的方案数 \(C_n\).

令左括号为 \(1\)，右括号为 \(-1\)，需满足任意前缀和不小于零.

在开头添加一个 \(1\)，条件转化为任意前缀和严格大于零.

因为合法序列不可能 \(-1\) 开头，序列集就是 \(n+1\) 个 \(1\) 和 \(n\) 个 \(-1\) 的排列，满足一般循环引理条件，\(k=1\).

由计数结论可得：

\[C_n = \frac{1}{2n+1}\binom{2n+1}{n} \]

\[\Rightarrow C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} \]