尾和公式

对于取决于 \(0,1,\cdots,m\) 的随机变量 \(X\)，有尾和公式：

\[\mathbb{E}[X] = \sum_{i=0}^{m}{\Pr(X\ge i)} \]

首先，有如下恒等式：

\[X = \sum_{i=1}^{m}{[X\ge i]} \]

两边同时取期望：

\[\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{m}{[X\ge i]}\right] \]

根据期望的线性性：

\[\mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^{m}{\mathbb{E}[[X\ge i]]} \]

即：

\[\mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^{m}{\Pr(X\ge i)} \]