2025 ICPC武汉邀请赛 C 题思路分享

题意

有 \(n\) 个格子初始长满杂草，从 \(1\) 出发，到达一个格子之后会花 \(1\) 小时检查并除去该格子的杂草，走到 \(n\) 返回，除去第 \(n\) 个格子，其他格子会被检查 \(2\) 次.

第 \(i\) 个格子杂草被除去后 \(a_i\) 小时 \(1\) 分钟又重新长出，总共走 \(m\) 轮，求每轮除去杂草的数量.

\(1\le n,m \le 10^6\).

思路

独立考虑每个格子对轮次的贡献.

记从 \(1\) 到 \(n\) 除去杂草的事件为 \(I\)，从 \(n\) 到 \(1\) 除去杂草事件为 \(O\)，可以发现只有 \(3\) 情况：

• \(III\cdots\)

• \(IOOO\cdots\)

• \(IOIOIO\cdots\)

令 \(L = 2n-1\) 表示周期， \(A = 2(n-i)\) 表示从 \(i\) 走到 \(n\) 又返回 \(i\) 的时间，\(B = 2i-1\) 表示从 \(i\) 走到 \(1\) 又返回 \(i\) 的时间，令 \(a_i+1 = cL+r\).

• \(III\cdots\)

  第一种情况 \(r=0\)，在 \(1,1+c,1+2c,\cdots\) 轮次贡献.

  第二种情况 \(r\gt A\)，在 \(1,2+c,3+2c,\cdots\) 轮次贡献.

• \(IOOO\cdots\)

  \(1\le r \le A\) 且 \(r\gt B\)，在 \(1,c+1,2(c+1),3(c+1)\cdots\) 轮次贡献.

• \(IOIOIO\cdots\)

  \(1\le r \le A\) 且 \(r\le B\)，\(I\) 在 \(1,2+2c,3+4c,\cdots\) 轮次贡献，\(O\) 在 \(1+c,2+3c,3+5c\) 轮次贡献.

缓存一下起点和差值，暴力跳是调和级数的.

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n+m\log m)\).

代码

//author:kzssCCC

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;


void solve(){
    int n,m;
    cin >> n >> m;

    vector<int> a(n+1);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        cin >> a[i];
    }

    int L = 2*n-1;
    vector<int> res(m+1);
    map<pair<int,int>,int> mp;

    for (int i=1;i<=n;i++){
        int A = 2*(n-i);
        int B = 2*(i-1)+1;
        int c = (a[i]+1)/L;
        int r = (a[i]+1)%L;

        if (r==0){
            mp[{1,c}]++;
        }
        else if (r>A){
            mp[{1,c+1}]++;
        }
        else if (r>=1 && r<=A && r>B){
            res[1]++;
            mp[{c+1,c+1}]++;
        }
        else{
            mp[{1,2*c+1}]++;
            mp[{c+1,2*c+1}]++;
        }
    }

    for (auto& [pr,v]:mp){
        auto& [s,d] = pr;
        for (int x=s;x<=m;x+=d){
            res[x] += v;
        }
    }

    for (int i=1;i<=m;i++){
        cout << res[i] << ' ';
    }
    cout << '\n';
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) solve();

    return 0;
}