2025 ICPC Asia EC 网络预选赛第一场 D题思路分享（dp）

https://qoj.ac/contest/2513/problem/14304/statement/zh_cn

题意

给定一棵树，每个点有点权，任意断边将树分成若干连通分量，让所有连通分量的最大值 \(-\) 最小值之和最大，求这个最大值.

\(1\le n \le 10^6\).

思路

考虑 \(dp\)，需要维护未封闭连通块的最大值和最小值.

可以提前决策，钦定 \(a_i\) 为最值，这样需要维护最大值和最小值有没有被决策，转移讨论是否封闭连通块即可.

时间复杂度 \(\mathcal{O}(16n)\).

代码

//author:kzssCCC

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const ll INF = 9e18;

void solve(){
	int n;
	cin >> n;

	vector<ll> a(n+1);
	for (int i=1;i<=n;i++){
		cin >> a[i];
	}

	vector<vector<int>> adj(n+1);
	for (int i=0;i<n-1;i++){
		int u,v;
		cin >> u >> v;
		adj[u].push_back(v);
		adj[v].push_back(u);
	}

	vector<vector<ll>> dp(n+1,vector<ll>(4,-INF));
	for (int i=1;i<=n;i++){
		dp[i][0] = 0;
	}
	function<void(int,int)> dfs = [&](int u,int par){
		for (auto& v:adj[u]){
			if (v==par) continue;
			dfs(v,u);

			vector<ll> ndp(4,-INF);
			for (int q=0;q<4;q++){
				if (dp[v][q]==-INF) continue;
				for (int p=0;p<4;p++){
					if (dp[u][p]==-INF) continue;

					if ((p&q)==0){
						ndp[p|q] = max(ndp[p|q],dp[u][p]+dp[v][q]);
					}
					if (q==3){
						ndp[p] = max(ndp[p],dp[u][p]+dp[v][q]);
					}
				}
			}
			dp[u] = ndp;	
		}

		auto ndp = dp[u];
		for (int p=0;p<4;p++){
			if (dp[u][p]==-INF) continue;
			if ((p&1)==0){
				ndp[p|1] = max(ndp[p|1],dp[u][p]+a[u]);
			}
			if ((p>>1&1)==0){
				ndp[p|2] = max(ndp[p|2],dp[u][p]-a[u]);
			}
		}
		dp[u] = ndp;
	};
	dfs(1,-1);

	cout << dp[1][3] << '\n';
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	
	int t = 1;
	// cin >> t;
	while (t--) solve();

	return 0;
}