CF528D 思路分享（FFT/NTT）

https://codeforces.com/contest/528/problem/D

题意

给定标准串 \(s\) 和模式串 \(t\)，仅由 \(ACGT\) 四种字符组成.

定义模糊匹配：若 \(s[i-k,\cdots, i+k]\) 存在 \(t_j\)，则 \(s_i\) 与 \(t_j\) 匹配.

求 \(s\) 中能够模糊匹配成功的起点数量.

\(1\le |t| \le |s| \le 2\cdot 10^5\)，\(0\le k \le 2\cdot 10^5\).

思路

由于字符集数量很少，考虑枚举字符 \(c\).

记 \(|S|=n\)，\(|T|=m\).

定义 \(A_i\) 为 \(s_i\) 能否模糊匹配 \(c\)，这可以通过前缀和处理.

定义 \(B_j\) 为 \(t_j\) 是否为字符 \(c\).

当 \(B_j=1\) 时，\(A_{i+j}\) 必须为 \(1\)，否则起点 \(i\) 不合法，即

\[\sum_{j=0}^{m-1}{B_j\cdot(1-A_{i+j})}=0 \]

将 \(A\) 取反，反转 \(B\)

\[\sum_{j=0}^{m-1}{B_{m-1-j}\cdot A_{i+j}}=0 \]

注意到下标之和为 \(m-1+i\) ，这是卷积的形式，使用 \(FFT/NTT\) 计算即可，累加多个卷积的结果，最后为 \(0\) 就是合法的起点.

时间复杂度 \(\mathcal{O}(4L\log L)\)，\(L\) 是参与卷积计算的长度.

代码

//author:kzssCCC

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const int MOD = 998244353;

ll qpow(ll a,ll b){
	ll res = 1;
	while (b){
		if (b&1){
			res = res*a%MOD;
		}
		a = a*a%MOD;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

const int g = 3;
const int invg = qpow(g,MOD-2);

void ntt(vector<ll>& vec,int n,int op){
	int B = 31-__builtin_clz(n);
	for (int i=0;i<n;i++){
		int rev = 0;
		for (int j=0;j<B;j++){
			rev <<= 1;
			rev |= i>>j&1;
		}
		if (i<rev){
			swap(vec[i],vec[rev]);
		}
	}

	for (int len=2;len<=n;len<<=1){
		ll w = qpow(op==0?g:invg,(MOD-1)/len);
		for (int i=0;i<n;i+=len){
			ll cur = 1;
			for (int j=0;j<len/2;j++){
				ll u = vec[i+j];
				ll v = vec[i+j+len/2];
				vec[i+j] = (u+cur*v%MOD)%MOD;
				vec[i+j+len/2] = (u-cur*v%MOD+MOD)%MOD;
				cur = cur*w%MOD;
			}
		}
	}
	if (op==1){
		for (int i=0;i<n;i++){
			vec[i] = vec[i]*qpow(n,MOD-2)%MOD;
		}
	}
}

void solve(){
	int n,m,K;
	cin >> n >> m >> K;
	string s,t;
	cin >> s >> t;

	int N = 1;
	while (N<n+m-1){
		N<<=1;
	}
	vector<ll> P(N);

	for (auto ch:"ACGT"){
		vector<ll> pre(n+1);
		for (int i=1;i<=n;i++){
			pre[i] = pre[i-1]+(s[i-1]==ch);
		}

		vector<ll> a(n);
		for (int i=0;i<n;i++){
			int l = max(0,i-K);
			int r = min(n-1,i+K);
			a[i] = !(pre[r+1]-pre[l]);
		}

		vector<ll> b(m);
		for (int i=0;i<m;i++){
			b[i] = t[i]==ch;
		}
		reverse(b.begin(),b.end());

		a.resize(N);
		b.resize(N);
		ntt(a,N,0);
		ntt(b,N,0);
		vector<ll> c(N);
		for (int i=0;i<N;i++){
			c[i] = a[i]*b[i]%MOD;
		}
		ntt(c,N,1);
		
		for (int i=0;i<N;i++){
			P[i] = (P[i]+c[i])%MOD;
		}
	}	

	int res = 0;
	for (int i=m-1;i<=n-1;i++){
		if (P[i]==0){
			res++;
		}
	}	
	cout << res << '\n';
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	
	int t = 1;
	// cin >> t;
	while (t--) solve();

	return 0;
}