CF1967B2 思路分享（数论）

https://codeforces.com/problemset/problem/1967/B2

题意

给定 \(n,m\)，求：

• \(1\le a \le n\)，\(1\le b \le m\)

• \((a+b) \mid (b\cdot \gcd(a,b))\)

的数量.

\(1\le n,m\le 2\cdot 10^6\).

思路

求

\[\sum_{a=1}^{n}{\sum_{b=1}^{m}{[(a+b) \mid (b\cdot \gcd(a,b))]}} \]

枚举公因数 \(d\)

\[\sum_{a=1}^{n}{\sum_{b=1}^{m}{\sum_{d\mid a,d\mid b}{[\gcd(\frac{a}{d},\frac{b}{d})=1][(a+b) \mid (b\cdot d)]}}} \]

交换求和，换元化简

\[\sum_{d}{\sum_{a=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}{\sum_{b=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}{[\gcd(a,b)=1][(a+b)\mid (b\cdot d)]}}} \]

因为 \(\gcd(a,b)=1\)，即 \(\gcd(a+b,b)=1\)，因此 \((a+b)\mid(b\cdot d)\) 等价于 \((a+b)\mid d\)，因此 \(a\le d\)，\(b\le d\).

令 \(d=k(a+b)\)，将 \(k\) 放回求和内层，上面讨论可知 \(a\cdot d \le n\) 且 \(a\le n\)，于是 \(a\le \sqrt{n}\)，\(b\) 同理.

\[\sum_{a=1}^{\sqrt{n}}{\sum_{b=1}^{\sqrt{m}}{\sum_{k=1}^{\min(\left\lfloor\frac{n}{a(a+b)}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{m}{b(a+b)}\right\rfloor)}{[\gcd(a,b)=1]}}} \]

即

\[\sum_{a=1}^{\sqrt{n}}{\sum_{b=1}^{\sqrt{m}}{[\gcd(a,b)=1]\cdot \min(\left\lfloor\frac{n}{a(a+b)}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{m}{b(a+b)}\right\rfloor)}} \]

枚举 \(a,b\) 即可.

时间复杂度 \(\mathcal{O}(\sqrt{n\cdot m})\).

代码

//author:kzssCCC

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;


void solve(){
	int n,m;
	cin >> n >> m;

	ll res = 0;
	for (ll a=1;a*a<=n;a++){
		for (ll b=1;b*b<=m;b++){
			if (__gcd(a,b)==1){
				res += min(n/(a*(a+b)),m/(b*(a+b)));
			}
		}
	}
	cout << res << '\n';
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	
	int t = 1;
	cin >> t;
	while (t--) solve();

	return 0;
}