大学物理整理

刚体定轴转动

转动惯量

刚体惯性的度量.

\[J = \sum{m_ir_i^2} \]

常见模型的转动惯量

• 空心圆环，\(J=mR^2\).

• 实心圆盘，\(J=\frac{1}{2}mR^2\).

• 细杆，转轴在中点，\(J=\frac{1}{12}mL^2\).

• 细杆，转轴在端点，\(J=\frac{1}{3}mL^2\).

• 空心球，\(J=\frac{2}{3}mR^2\).

• 实心球，\(J=\frac{2}{5}mR^2\).

转动定律

力矩 \(=\) 转动惯量 \(\times\) 角加速度.

\[M = J\alpha \]

角动能定理

力矩的功

\[W = \int{Md\theta} \]

刚体的转动动能

\[E_k = \frac{1}{2}Jw^2 \]

角动能定理

\[\Delta E_k = W \]

角动量定理

刚体的角动量

\[L = Jw \]

力矩的角冲量（冲量矩）

\[H = \int{Mdt} \]

角动量定理

\[\Delta L = H \]

静电场

真空介电常量

\[\varepsilon_0 = \frac{1}{4\pi k} = 8.85 \times 10^{-12} C^2/(N\cdot m^2) \]

高斯定理

在真空的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量，等于该封闭面所包围的电荷的代数和的 \(\frac{1}{\varepsilon_0}\) 倍.

\[\varPhi_e = \iint_S{\vec E \cdot d \vec S} = \frac{\sum{q_{\text{内}}}}{\varepsilon_0} \]

平行板电容器的电容

\[C = \frac{\varepsilon S}{d} \]

稳恒磁场

真空磁导率

\[\mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2} = 4\pi \times 10^{-7} N/A^2 \]

通电直导线的磁场

\[B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}(\cos \theta_1 - \cos \theta_2) \]

其中，\(r\) 为 \(P\) 到导线的距离，\(\theta_1\) 为 \(P\) 与直导线下端点的夹角，\(\theta_2\) 为 \(P\) 与直导线上端点的夹角.

特别地，对于无限长直导线

\[B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]

通电原导线的磁场

在圆心处的磁场

\[B = \frac{\mu_0 I}{2R} \]

磁通连续定理

通过磁场中闭合曲面的磁通量为 \(0\).

安培环路定理

在恒定电流的磁场中，磁感应强度沿任何路径的线积分，等于路径包围电流强度之和的 \(\mu_0\) 倍.

\[\oint{\vec B \cdot d \vec l } = \mu_0 \sum I_{\text{内}} \]

电磁感应

法拉第电磁感应定律

\[\varepsilon = -N \frac{d\Phi}{dt} \]

互感

互感系数 \(M\) 是一个回路的单位电流在另一个回路中产生的磁链，单位为亨利（\(H\)）

\[\varPsi_2 = MI_1，\varPsi_1 = MI_2 \]

互感产生的电动势为

\[\varepsilon_2 = -M \frac{dI_1}{dt}，\varepsilon_1 = -M \frac{dI_2}{dt} \]

两个互感线圈的总磁能为

\[W = \frac{1}{2}L_1I_1^2+\frac{1}{2}L_2I_2^2+MI_1I_2 \]

自感

自感系数 \(L\) 为单位电流产生的磁链

\[\varPsi = LI \]

自感产生的感应电动势为

\[\varepsilon = -L \frac{dI}{dt} \]

自感线圈所具有的磁能为

\[W = \frac{1}{2}LI^2 \]