CF2189D2 思路分享（数论）

https://codeforces.com/problemset/problem/2189/D2

题意概述

对于一个 \(01\) 串 \(w_1w_2\cdots w_n\)，定义 \(f(w)\) 为：

• \(p\) 是 \([0,1,\cdots,n-1]\) 的一个排列.

• 对于每个 \(i\)，若 \(w_i\) 为 \(1\)，则存在 \(p\) 的某个子串的 \(mex\) 为 \(i\)，若 \(w_i\) 为 \(0\)，则不存在这样的子串.

• 符合条件的 \(p\) 数量.

给定 \(01\) 串 \(s\) 和整数 \(c\)，\(s\) 中有些位置为 \(?\) 表示可以自选，求满足 \(f(s)\) 在不是 \(c\) 的倍数的情况下的最小值，模 \(10^9+7\)，不存在输出 \(-1\).

\(3\le n \le 2\cdot 10^5\)，\(1\le c \le 10^9\).

思路

对于没有 \(?\) 的 \(s\)，若 \(s_1=0\) 或 \(s_n=0\)，则 \(f(s)=0\).

若 \(s_i=1\) ，放在两边，贡献 \(2\)；否则，放在中间，贡献 \(i-1\).

不考虑限制，想要 \(f(s)\) 最小，让 \(i\ge 3\) 时 \(s_i=1\)，\(s_2\) 取 \(0\).

在这基础上调整，将某个位置 \(s_i\) 从 \(1\) 改成 \(0\).

• 若 \(i\) 是奇数，在附带 \(2\) 的因子的基础上又新增因子，没有意义；

• 若 \(i\) 是偶数，删掉了一个 \(2\) 的因子，新增了一个因子.

发现只能减少 \(2\) 的因子数量.

统计可调整的位置数量 \(m\)，当前 \(s\) 所有贡献的因子 \(2\) 数量 \(ts\)，\(c\) 的因子 \(2\) 数量 \(tc\).

若 \(f(s)\) 已经不是 \(c\) 的倍数，不需要调整，判断方法如下：

对于 \(c\) 和 \(s\) 的所有贡献，都除掉 \(2\) 的因子部分，记 \(s\) 某个贡献处理后为 \(v\)，每次让 \(c\) 除掉 \(\gcd(c,v)\).

如果 \(c\) 最终不为 \(1\)，或者 \(ts \lt tc\)，已经不是倍数了.

如果当前是倍数，贪心地选前 \(ts-tc+1\) 个改成 \(0\) 即可，不够输出 \(-1\).

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n)\).

代码

//author:kzssCCC

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const int MOD = 1e9+7;

void solve(){
	int n,c;
	cin >> n >> c;
	string s;
	cin >> s;

	s = ' '+s;
	if (s[1]=='0' || s[n]=='0'){
		cout << -1 << '\n';
		return;
	}
	s[1] = s[n] = '1';

	int tc = __builtin_ctz(c);
	c /= 1<<tc;

	vector<int> wait;
	for (int i=2;i<n;i++){
		if (s[i]!='?') continue;
		if (i==2){
			s[i] = '0';
		}
		else{
			s[i] = '1';
			if (i%2==0){
				wait.push_back(i);
			}
		}
	}

	int m = wait.size();
	int ts = 0;
	for (int i=2;i<=n;i++){
		if (s[i]=='0'){
			int v = i-1;
			int temp = __builtin_ctz(v);
			ts += temp;
			v /= 1<<temp;
			c /= __gcd(c,v);
		}
		else{
			ts++;
		}
	}

	auto cal = [&](){
		ll res = 1;
		for (int i=2;i<=n;i++){
			if (s[i]=='0'){
				res = res*(i-1)%MOD;
			}
			else{
				res = res*2%MOD;
			}
		}

		return res;
	};

	if (c!=1 || ts<tc){
		cout << cal() << '\n';
		return;
	}

	if (ts-m>=tc){
		cout << -1 << '\n';
		return;
	}

	int need = ts-tc+1;
	for (int i=0;i<need;i++){
		s[wait[i]] = '0';
	}

	cout << cal() << '\n';
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	
	int t = 1;
	cin >> t;
	while (t--) solve();

	return 0;
}