离散数学整理

命题联结词

• \(\neg\) 否定.

• \(\land\) 合取（与）.

• \(\lor\) 析取（或）.

• \(\to\) 蕴含，只有 \(p=1,q=0\) 时，\((p\to q)=0\)，否则为 \(1\).

• \(\leftrightarrow\) 等价，相当于同或.

蕴含命题的表述

• 只要 \(p\)，就 \(q\).

• 因为 \(p\)，所以 \(q\).

• \(p\) 仅当 \(q\).

• 只有 \(q\)，才 \(p\).

• 除非 \(q\)，才 \(p\)。

成真赋值和成假赋值

对于一个合式公式，当结果为真时，其对应的命题变元为成真赋值；当结果为假时，其对应的命题变元为成假赋值.

常见等价式

• \(A \lor (B \land C) \Leftrightarrow (A \lor B)\land (A\lor C)\)

• \(A \land (B \lor C) \Leftrightarrow (A\land B)\lor (A\land C)\)

• \(\neg (A \lor B) \Leftrightarrow \neg A \land \neg B\)

• \(\neg(A\land B) \Leftrightarrow \neg A \lor \neg B\)

• \(A\to B \Leftrightarrow \neg A \lor B\)

• \(A \leftrightarrow B \Leftrightarrow (A\to B)\land (B\to A)\)

析取范式与合取范式

几个概念：

• 文字：命题变元及其否定.

• 简单析取式：仅由有限个文字构成的析取式.

• 简单合取式：仅由有限个文字构成的合取式.

• 析取范式：由有限个简单合取式的析取构成的命题式.

• 合取范式：由有限个简单析取式的合取构成的命题式.

主析取范式与主合取范式

主析取范式：

例如 \((p \land q)\lor (\neg p \land q)\)，这是一个析取范式，所有括号内内容都包含 \(p\) 和 \(q\) 两命题变元，且都是简单合取式，所以是主析取范式.

对于 \(p\land q\)，它的成真赋值为 \(11\)，对应为十进制 \(3\)，记作 \(m_3\)；对于 \(\neg p \land q\)，它的成真赋值为 \(01\)，对应十进制为 \(1\)，记作 \(m_1\).

因此原主析取范式可以表述为 \(\sum{m(1,3)}\)（下标升序）.

主合取范式：

例如 \((p \lor q)\land (\neg p \lor q)\)，这是一个合取范式，所有括号内内容都包含 \(p\) 和 \(q\) 两命题变元，且都是简单析取式，所以是主合取范式.

对于 \(p\lor q\)，它的成假赋值为 \(00\)，对应为十进制 \(0\)，记作 \(M_0\)；对于 \(\neg p \lor q\)，它的成假赋值为 \(10\)，对应十进制为 \(2\)，记作 \(M_2\).

因此原主合取范式可以表述为 \(\prod{M(0,2)}\)（下标升序）.

谓词逻辑命题符号化

• \(\forall\) 对应的连接词为 \(\to\).

• \(\exists\) 对应的连接词为 \(\land\).

谓词逻辑常见等值式

• \(\neg \forall x A(x) \Leftrightarrow \exists x \neg A(x)\)

• \(\neg \exists x A(x) \Leftrightarrow \forall x \neg A(x)\)

谓词逻辑前束范式

前束范式：具有 \(Q_1x_1Q_2x_2\cdots Q_kx_k B\) 的谓词逻辑公式，其中 \(Q_i\) 为量词，\(B\) 不含量词.

集合的对称差

\[A \oplus B = (A-B) \cup (B-A) = (A \cup B)-(A\cap B) \]

集合常见恒等式

• \(A-(B \cup C)=(A-B)\cap (A-C)\)

• \(A-(B \cap C)=(A-B)\cup (A-C)\)

• \(\sim(B \cup C)= \sim B \cap \sim C\)

• \(\sim(B \cap C)= \sim B \cup \sim C\)

笛卡尔积

\[A \times B = \{\text{<}x,y\text{>} \mid x\in A \land y \in B\} \]

二元关系

如果一个集合满足以下条件之一：

• 集合非空，且元素都是有序对.

• 集合是空集.

则称该集合为一个二元关系，记作 \(R\)，如果 \(\text{<}x,y\text{>}\in R\)，则记作 \(xRy\).

设 \(A,B\) 为集合，\(A\times B\) 的任何子集所定义的二元关系称作从 \(A\) 到 \(B\) 的二元关系.

特别地，当 \(A=B\) 时称作 \(A\) 上的二元关系.

关系的运算

设 \(R\) 是二元关系

• 定义域：\(R\) 中所有有序对第一元素构成的集合，记作 \(domR\).

• 值域：\(R\) 中所有有序对第二元素构成的集合，记作 \(ranR\).

• 域：\(R\) 的定义域和值域的并集，记作 \(fldR\).

• 逆：交换 \(R\) 中所有有序对的第一元素和第二元素构成的集合，记作 \(R^{-1}\).

• 复合：\(F\) 的某有序对为 <\(x_1,y_1\)>，\(G\) 的某有序对为 <\(x_2,y_2\)>，当 \(y_1=x_2\) 时，<\(x_1,y_2\)> 构成的集合称作 \(G\) 对 \(F\) 的右复合.

\[F \circ G = \{\text{<}x,y\text{>}\mid \exists t \text{<}x,t\text{>} \in F \land \text{<}t,y\text{>} \in G\} \]

关系的性质

给定关系 \(R\) 的关系矩阵 \(M_R\)

• \(M_R\) 有自反性：主对角线元素全是 \(1\).

• \(M_R\) 有反自反性：主对角线元素全是 \(0\).

• \(M_R\) 有对称性：矩阵是对称矩阵.

• \(M_R\) 有反对称性：若 \(r_{ij}=1\) 且 \(i\ne j\)，则 \(r_{ji}=0\).

• \(M_R\) 有传递性：对 \(M_R^2\) 中 \(1\) 所在位置，\(M_R\) 在该位置为 \(1\)；另一种理解：如果存在 <\(x,t\)> 和 <\(t,y\)>，那么必须存在 <\(x,y\)>.

关系的闭包

对于关系 \(R\)，\(R\) 的闭包为在 \(R\) 的基础上添加最少的有序对使得满足某些性质.

• 自反闭包，reflexive，记作 \(r(R)\)，添加有序对满足自反性.

• 对称闭包， symmetric，记作 \(s(R)\)，添加有序对满足对称性.

• 传递闭包，transitive，记作 \(t(R)\)，添加有序对满足传递性.

等价关系

• 设 \(R\) 是非空集合 \(A\) 上的关系，如果 \(R\) 是自反的、对称的和传递的，则称 \(R\) 为 \(A\) 上的等价关系.

• 设 \(R\) 是非空集合 \(A\) 上的等价关系，\(\forall x\in A\)，令 \([x]=\{y\mid y\in A \land xRy\}\)，称 \([x]\) 是 \(x\) 关于 \(R\) 的等价类.

• 设 \(R\) 是非空集合 \(A\) 上的等价关系，以 \(R\) 的所有等价类作为元素的集合称为 \(A\) 关于 \(R\) 的商集，记作 \(A/R\)，即 \(A/R = \{[x] \mid x\in A\}\).

偏序关系

设 \(R\) 是非空集合 \(A\) 上的关系，如果 \(R\) 是自反的、反对称的和传递的，则称 \(R\) 为 \(A\) 上的偏序关系.

计算通路和回路数量

给定有向图的邻接矩阵 \(A\)，\(A[i][j]\) 代表从 \(i\) 到 \(j\) 的有向边的数量.

长度为 \(k\) 表示经过 \(k\) 条边.

长度为 \(k\) 的通路数量：\(A^{k}\) 的所有元素之和.

长度为 \(k\) 的回路数量 \(A^{k}\) 的迹.