高等数学整理

向量的混合积

\[(a\times b)\cdot c = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} \]

几何意义为以 \(\vec a,\vec b,\vec c\) 为棱的平行六面体的体积.

平面的点法式方程

根据法向量 \(\vec a = (A,B,C)\) 和平面上一点 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) 可以确定一个平面，方程为

\[Ax+By+Cz+D=0 \]

其中，\(D=-Ax_0-By_0-Cz_0\).

也叫平面的一般方程.

直线方程

根据直线上一点 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) 和一个方向向量 \(\vec s=(m,n,p)\) 可以确定一条直线.

\[(x-x_0,y-y_0,z-z_0) = t(m,n,p) \]

即

\[\begin{cases} x = x_0 + tm \\ y = y_0 + tn \\ z = z_0 + tp \end{cases} \]

这叫作直线的参数方程.

消去 \(t\)，方程可写成

\[\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p} \]

这叫作直线的点向式方程或对称式方程.

点到平面的距离

\[d = \frac{\left|Ax_0+By_0+Cz_0+D \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \]

隐函数求导

一元

化成 \(F(x,y)=0\).

\[\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} \]

\(F_x\) 是 \(F\) 对 \(x\) 的偏导.

二元

化成 \(F(x,y,z)=0\).

\[\begin{cases} \dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{F_x}{F_z} \\[1em] \dfrac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{F_y}{F_z} \end{cases} \]

多元函数极值

首先，求出 \(f(x,y)\) 的所有驻点，即满足

\[f_x=0,f_y=0 \]

的点.

对于驻点 \((x_0,y_0)\)，记

\[\begin{cases} A = f_{xx}(x_0,y_0) \\ B = f_{xy}(x_0,y_0) \\ C = f_{yy}(x_0,y_0) \end{cases} \]

\[\begin{cases} AC-B^2 \gt 0，\text{有极值} \begin{cases}A\gt 0\text{，有极小值.} \\ A\lt 0\text{，有极大值.}\end{cases} \\[1em] AC-B^2 \lt 0，\text{没有极值.} \\[1em] AC-B^2 = 0，\text{无法判断.} \end{cases} \]

梯度向量

\[\nabla F(x,y,z) = (F_x,F_y,F_z) \]

若已知曲面的梯度向量 \(\nabla F\) 和曲面上一点 \(M(x_0,y_0,z_0)\)，则该曲面在 \(M\) 的切平面方程为

\[\nabla F(x_0,y_0,z_0) \cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0) = 0 \]

无穷级数

常数级数的性质

• 若 \(\sum{u_n}\) 和 \(\sum{v_n}\) 收敛，则 \(\sum{(u_n \pm v_n)}\) 收敛.

• 若 \(\sum{u_n}\) 发散，\(\sum{v_n}\) 收敛，则 \(\sum{(u_n \pm v_n)}\) 发散.

• 若 \(\sum{u_n}\) 和 \(\sum{v_n}\) 发散，则 \(\sum{(u_n \pm v_n)}\) 不一定发散.

• 若 \(\sum{u_n}\) 收敛，则任意加括号后的级数也收敛，且和不变.

幂级数的性质

• 两幂级数之和的幂级数的收敛半径为 \(\min(R_1,R_2)\).

• 对于幂函数 \(\sum_{n=1}^{\infty}{a_nx_n}\)，有

\[\begin{cases} \int_{0}^{x}{\sum_{n=1}^{\infty}{a_nt^ndt}} = \sum_{n=1}^{\infty}{\int_{0}^{x}{a_nt^ndt}} \\[1em] (\sum_{n=1}^{\infty}{a_nx^n})' = \sum_{n=1}^{\infty}{(a_nx^n)'} \end{cases} \]

微分方程

微分方程的阶数

未知函数导数的最高阶数.

可分离变量的微分方程

如果微分方程可以化成 \(M(x)dx = N(y)dy\) 的形式，则称为可分离变量的微分方程，两边同时求不定积分即可.

齐次微分方程

如果微分方程可以写成

\[\frac{dy}{dx} = f(\frac{y}{x}) \]

的形式，则称为齐次微分方程，求解过程如下：

令 \(\frac{y}{x} = u\)，则 \(y = xu\)，两边同时对 \(x\) 求导，得

\[\frac{dy}{dx} = u+x \frac{du}{dx} \]

于是原微分方程为

\[u+x\frac{du}{dx} = f(u) \]

分离变量，两边同时求不定积分，最后回代 \(u=\frac{y}{x}\) 即可.

一阶线性微分方程

标准形式：

\[y'+p(x)y = Q(x) \]

解为

\[y = e^{-\int p(x)dx}(\int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C) \]

二阶常系数齐次线性微分方程

标准形式：

\[y''+py'+qy=0 \]

其特征方程为 \(r^2+pr+q=0\).

• 若方程有两个不等的实根，则 \(y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}\).

• 若方程有两个相等的实根，则 \(y=(c_1+c_2x)e^{r_1x}\).

• 若方程的根为两个共轭复根 \(\alpha \pm \beta i\)，则 \(y=e^{\alpha x}(c_1\cos \beta x+c_2 \sin \beta x)\).

二阶常系数非齐次线性微分方程

标准形式：

\[y''+py'+qy=f(x) \]

记上式的一个特解为 \(y^*\)，其齐次方程 \(y''+py'+qy=0\) 的通解为 \(\bar{y}\)，则通解为 \(y^*+\bar{y}\).