线性代数整理

行列式

行列式的定义

在 \(n\) 阶行列式中， \(a_{i,j}\) 的符号为 \(-1^{\pi(\text{行的排列})+\pi(\text{列的排列})}\)。

行列式的性质

• 对于任意行列式 \(D\)，\(D=D^T\)（行列式与转置行列式相等）。

• 交换行列式的两行，行列式的值改变符号。

• 若行列式两行对应元素相等，行列式值为 \(0\)。

• 将行列式某行整体乘 \(k\)，等价于行列式乘 \(k\)。

• 若存在某行满足 \(D_1\) 与 \(D_2\) 对应的和等于对应的 \(D_3\)，则 \(D_3 = D_1+D_2\)。

• 将行列式某一行的值乘 \(k\) 加到另一行上，行列式的值不变。

行列式按行展开

余子式

在行列式中 \(D\)，删掉 \(a_{i,j}\) 所在的行和列的所有元素，剩余元素按原来位置构成的行列式的值，叫做 \(D\) 中元素 \(a_{i,j}\) 的余子式，记作 \(M_{i,j}\)。

代数余子式

\((-1)^{i+j}M_{i,j}\) 为元素 \(a_{i,j}\) 的代数余子式，记作 \(A_{i,j}\)。

按行展开

\(D = a_{i,1}A_{i,1}+a_{i,2}A_{i,2}+ \cdots + a_{i,n}A_{i,n}\)

异乘变零定理

\(D\) 中某一行元素与另一行元素代数余子式乘积之和为 \(0\)。

克莱姆法则

对于 \(n\) 个方程，\(n\) 个未知数的线性方程组，若其系数构成的行列式 \(D \ne 0\)，则可以将解表示为以下形式：

\(x_i\) 的分子为：将 \(D\) 的第 \(i\) 列替换成线性方程组的常数项（移到等号右边）；分母为 \(D\)。

对于 \(n\) 个方程，\(n\) 个未知数的齐次线性方程组，方程有非零解的充要条件为：系数行列式 \(D = 0\)。

范德蒙德行列式

\[\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1\le j \lt i \le n}{(x_i-x_j)} \]

矩阵

矩阵乘法

矩阵 \(A_{n,m}\) 可以和 \(B_{s,t}\) 相乘的条件是 \(m=s\)，得到矩阵 \(D_{n,t}\)。

矩阵的可交换

若矩阵 \(A,B\) 满足 \(AB = BA\)，则称矩阵 \(A,B\) 可交换。

可交换的矩阵一定是同阶的方阵。

矩阵的转置

\((AB)^T = B^T A^T\)

\((ABC)^T = C^T B^T A^T\)

方阵的行列式

• \(|kA| = k^n|A|\)

• 当 \(A\) 和 \(B\) 是同阶的方阵时，有 \(|AB| = |A| \cdot |B|\)。

• \(|A^m| = |A|^m\)

方阵的伴随矩阵

方阵 \(A\) 的伴随矩阵 \(A^*\) 定义为：

\[A^* = \begin{vmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{vmatrix} \]

\(A_{i,j}\) 为 \(|A|\) 的元素 \(a_{i,j}\) 的代数余子式。

注意伴随矩阵是转置的。

伴随矩阵的性质

• \(AA^* = A^*A = |A|E\)

• \(|A^*| = |A|^{n-1}\)

• \((A^T)^* = (A^*)^T\)

• \((kA)^* = k^{n-1}A^*\)

方阵的逆矩阵

逆矩阵的定义

设 \(A\) 是方阵，若存在同阶方阵 \(B\)，使得 \(AB=BA=E\)，则 \(A\) 可逆。

矩阵可逆的判断

方阵 \(A\) 可逆的充要条件是 \(A\) 是非奇异矩阵，即 \(|A| \ne 0\)。

当 \(A\) 可逆时，\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*\)（伴随矩阵法）。

对角形矩阵的逆

对角形矩阵 \(A\) 可逆的充要条件是 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 都不为零。

\[A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a_1} \\ & \frac{1}{a_2} \\ & & \ddots \\ & & & \frac{1}{a_n} \end{pmatrix} \]

逆矩阵的性质

• 若 \(A\) 可逆，\(k\) 为非零常数，则 \(kA\) 可逆，且 \((kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}\).

• 若 \(A\) 可逆，则 \(A^*\) 也可逆，且 \((A^*)^{-1}=(A^{-1})^* = \frac{1}{|A|}A\).

• 若 \(A,B\) 为同阶可逆方阵，则 \(AB\) 可逆，且 \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\).

• 若 \(A\) 可逆，\(m\) 为正整数，则 \(A^m\) 可逆，且 \((A^m)^{-1} = (A^{-1})^m\).

• 若 \(A\) 可逆，则 \(|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}\).

矩阵的初等变换

标准形

形如

\[D = \begin{pmatrix}1 \\ & \ddots \\ & & 1 \\ & & & 0 \\ & & & & \ddots \\ & & & & & 0\end{pmatrix}_{n\times m} \]

的矩阵称为标准形矩阵.

任何矩阵都可以通过初等变换化为标准形矩阵.

行阶梯形

• 如果存在零行，零行在所有非零行下面.

• 任一非零行的首非零元所在列下方所有元素均为零.

例如

\[D = \begin{pmatrix} 6 & -4 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

特别地，若行阶梯形矩阵的首非零元均为 \(1\)，则称为化简行阶梯形矩阵.

任何矩阵都可以通过初等行变换化为行阶梯形矩阵.

初等矩阵

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵。

有以下三种类型：

• 交换 \(E\) 的 \(i,j\) 行得到的矩阵 \(E(ij)\).

• 用非零数 \(k\) 乘 \(E\) 的第 \(i\) 行得到的矩阵 \(E(i(k))\).

• 把 \(E\) 的第 \(i\) 行乘 \(l\) 加到第 \(j\) 行得到的矩阵 \(E(ij(l))\).

初等矩阵的性质：

• 初等矩阵的行列式都不为零.

\[|E(ij)|=-1，|E(i(k))|=k，|E(ij(l))|=1 \]

• 初等矩阵均可逆，其逆矩阵仍为同种类型的初等矩阵.

\[E(ij)^{-1}=E(ij)，E(i(k))^{-1}=E(i(\frac{1}{k}))，E(ij(l))^{-1}=E(ij(-l)) \]

• 初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵.

初等矩阵与初等变换的关系

对 \(A\) 做一次初等行变换得到的矩阵，等于同类型的初等矩阵左乘 \(A\) ；对 \(A\) 做一次初等列变换得到的矩阵，等于同类型的初等矩阵右乘 \(A\) .

矩阵 \(A_{n\times m}\) 和 \(B_{n\times m}\) 等价的充要条件是：存在 \(n\) 阶可逆矩阵 \(P\) 和 \(m\) 阶可逆矩阵 \(Q\)，使得 \(PAQ = B\).

初等变换法求逆矩阵

方阵 \(A\) 可逆的充要条件是 \(A\) 的标准形矩阵是单位矩阵.

方阵 \(A\) 可逆的充要条件是 \(A\) 可以表示为有限个初等矩阵的乘积.

只进行初等行变换，左侧矩阵化为单位矩阵，此时右侧矩阵即为 \(A^{-1}\).

\((A,E)\to(E,A^{-1})\)

例如求 \(\begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&0\\1&-1&0\end{pmatrix}\) 的逆：

\[\begin{pmatrix} 1&1&1&\vdots&1&0&0\\ 2&1&0&\vdots&0&1&0\\ 1&-1&0&\vdots&0&0&1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&0&0&\vdots&0&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\ 0&1&0&\vdots&0&\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\ 0&0&1&\vdots&1&-\frac{2}{3}&\frac{1}{3} \end{pmatrix} \]

逆矩阵为 \(\begin{pmatrix}0&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\0&\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\1&-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}\).

分块矩阵

分块矩阵乘法

若 \(A_{n\times s}\) 的列分块和 \(B_{s\times m}\) 的行分块相同，则按照矩阵乘法的规则运算，例如：

\[AB= \begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_1B_1+A_2B_3 & A_1B_2+A_2B_4 \\ A_3B_1+A_4B_3 & A_3B_2+A_4B_4 \end{pmatrix} \]

分块矩阵的转置

\[A = \begin{pmatrix} A_1 & A_2 & A_3 \\ A_4 & A_5 & A_6 \end{pmatrix} , A^T = \begin{pmatrix} A_1^T & A_4^T \\ A_2^T & A_5^T \\ A_3^T & A_6^T \end{pmatrix} \]

分块矩阵的逆矩阵

若 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\) 均可逆，则

\[\begin{pmatrix} A_1 \\ & A_2 \\ & & \cdots \\ & & & A_n \end{pmatrix} ^{-1} = \begin{pmatrix} A_1^{-1} \\ & A_2^{-1} \\ & & \cdots \\ & & & A_n^{-1} \end{pmatrix} \]

\[\begin{pmatrix} &&&A_1 \\ &&A_2 \\ & \cdots\\ A_n \end{pmatrix} ^{-1} = \begin{pmatrix} &&&A_n^{-1} \\ &&A_{n-1}^{-1} \\ & \cdots\\ A_1^{-1} \end{pmatrix} \]

分块矩阵的行列式

上三角或下三角分块矩阵的行列式等于主对角线所有矩阵的行列式的乘积.

\[\begin{vmatrix} A_1 \\ & A_2 \\ && \ddots \\ &&& A_n \end{vmatrix} = |A_1|\cdot |A_2| \cdots |A_n| \]

矩阵的秩

矩阵的子式

在矩阵任取 \(k\) 行 \(k\) 列，取行列交叉处的 \(k^2\) 个元素得到的行列式为矩阵的 \(k\) 阶子式.

矩阵的秩的定义

矩阵 \(A\) 中非零子式的最高阶数，称为矩阵 \(A\) 的秩，记作 \(r(A)\).

特别地，零矩阵没有非零子式，定义零矩阵的秩为零.

设 \(A\) 为 \(n\times m\) 矩阵，若 \(r(A)=\min(n,m)\)，则称 \(A\) 为满秩矩阵；否则称 \(A\) 为降秩矩阵.

有关矩阵的秩的结论

• 若矩阵 \(A\) 为行阶梯形矩阵，则 \(r(A)=A\) 中非零行的个数.

• 若矩阵 \(A,B\) 为同型矩阵，则

\[r(A\pm B)\le r(A)+r(B) \]

• 若 \(A\) 为 \(n\times s\) 矩阵，\(B\) 为 \(s\times m\) 矩阵，则

\[r(A)+r(B)-s\le r(AB) \le \min(r(A),r(B)) \]

• 若 \(A\) 为 \(n\times s\) 矩阵，\(B\) 为 \(s\times m\) 矩阵，\(AB\) 为零矩阵，则

\[r(A)+r(B)\le s \]

• 若 \(A\) 可逆，则

\[r(AB)=r(B)，r(CA)=r(C) \]

也就是左乘或右乘可逆矩阵，矩阵的秩不变.

• 若 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵，则

\[r(A^*)= \begin{cases} n，r(A)=n \\ 1，r(A)=n-1 \\ 0，r(A)<n-1 \end{cases} \]

矩阵的秩的求法

初等变换法：将矩阵变换成行阶梯形.

向量

向量组的线性相关性

向量组线性相关的定义

给定向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n $，如果存在不全为零的数 \(k_1,k_2,\cdots,k_n\)，使

\[k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0 \]

则称向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 线性相关，称 \(k_1,k_2,\cdots,k_n\) 为一组相关系数. 否则线性无关.

向量组线性相关的性质

• 两个非零向量 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 线性相关 \(\Leftrightarrow\) \(\alpha\) 和 \(\beta\) 对应成比例.

• 若向量组中部分组线性相关，则该向量组线性相关.

• 若向量组线性无关，则其任一部分组线性无关.

• 含有零向量的向量组必线性相关，线性无关的向量组必不含零向量.

• \(n\) 维单位向量组必线性无关.

• 若向量组有两个向量成比例，则向量组必线性相关.

• 若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则该向量组线性相关.

极大线性无关组

向量组的等价

若两个向量组能相互线性表示，则称两向量组等价.

极大线性无关组的定义

如果向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 的部分组 \(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\) 满足：

• \(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\) 线性无关.

• 向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 中任一向量都可由 \(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\) 线性表示.

• 该部分组的 \(r\) 是最大的.

则称 \(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}\) 是向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 的一个极大线性无关组.

极大线性无关组的性质

• 向量组和它的任一极大线性无关组等价.

• 初等行变换不改变矩阵的列向量组之间的线性关系.

• 初等列变换不改变矩阵的行向量组之间的线性关系.

求向量组的极大线性无关组

将向量组写成矩阵的列向量组，只做初等行变换，将矩阵变换成简化行阶梯形，所有非零行的首非零元所在列的向量即为极大线性无关组.

例如，求向量组

\[\begin{cases} \alpha_1 = (1,-2,2,-1) \\ \alpha_2 = (2,-4,8,0) \\ \alpha_3 = (-2,4,-2,3) \\ \alpha_4 = (3,-6,0,-6) \\ \end{cases} \]

的一个极大线性无关组，并表示出其余向量.

\[A= \begin{pmatrix} 1&2&-2&3 \\ -2&-4&4&6 \\ 2&8&-2&0 \\ -1&0&3&-6 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&0&-3&6 \\ 0&1&\frac{1}{2}&-\frac{3}{2} \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \]

那么 \(\alpha_1,\alpha_2\) 即为极大线性无关组，且

\[\alpha_3=-3\alpha_1+\frac{1}{2}\alpha_2，\alpha_4=6\alpha_1-\frac{3}{2}\alpha_2 \]

向量组的秩

向量组的秩的定义

向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 的任一极大线性无关组中所包含向量的个数，称为向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\) 的秩，记作 \(r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\).

矩阵 \(A\) 的行向量组的秩称为 \(A\) 的行秩，列向量组的秩称为 \(A\) 的列秩，\(A\) 的三秩相等.

线性方程组

线性方程组解的判定

令 \(A\) 为线性方程组的系数矩阵，\(\bar{A}\) 为线性方程组的增广系数矩阵，\(n\) 为未知数个数.

\[\begin{cases} r(A)=r(\bar{A})， \text{有解} \begin{cases} r(A)=r(\bar{A})=n，\text{唯一解}. \\ r(A)=r(\bar{A}) \lt n，\text{无穷解}. \end{cases} \\ r(A) \ne r(\bar{A})，\text{无解}. \end{cases} \]

对于齐次线性方程组，如果方程的个数小于未知数的个数，则必有非零解.

若 \(A\) 是方阵，若 \(A\) 可逆，\(Ax=B\) 有唯一解；若 \(A\) 不可逆，\(Ax=B\) 有无穷解或无解.

线性方程组解的性质

齐次线性方程组的基础解系

非齐次线性方程组没有基础解系.

例如，求齐次线性方程组

\[\begin{cases} x_1+x_2+x_3+4x_4-3x_5=0 \\ x_1-x_2+3x_3-2x_4-x_5=0 \\ 2x_1+x_2+3x_3+5x_4-5x_5=0 \\ 3x_1+x_2+5x_3+6x_4-7x_5=0 \\ \end{cases} \]

的一个基础解系.

因为方程个数小于未知数个数，方程组有非零解，基础解系存在.

将系数矩阵 \(A\) 变换成行简化阶梯形矩阵

\[A \to \begin{pmatrix} 1&0&2&1&-2 \\ 0&1&-1&3&-1 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} =B \]

自由未知量个数 \(=\) 基础解系中向量的个数 \(=n-r(A)\)，即 \(x_3,x_4,x_5\).

根据 \(B\) 第一行和第二行

\[\begin{cases} x_1 = -2x_3-x_4+2x_5 \\ x_2 = x_3-3x_4+x_5 \end{cases} \]

取 \(\begin{pmatrix}x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}\) 为 \(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\)，\(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\)，\(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\)，带入上式，得

\[\eta_1= \begin{pmatrix} -2\\1\\1\\0\\0 \end{pmatrix}， \eta_2= \begin{pmatrix} -1\\-3\\0\\1\\0 \end{pmatrix}， \eta_3= \begin{pmatrix} 2\\1\\0\\0\\1 \end{pmatrix}. \]

为 \(Ax=0\) 的基础解系.

非齐次线性方程组解的结构

对于 \(Ax=b\)，若 \(r(A)=r(\bar{A})=r<n\)，则 \(Ax=b\) 有无穷解，此时导出组 \(Ax=0\) 有非零解.

若 \(\alpha_0\) 为 \(Ax=b\) 的一个特解，\(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}\) 为导出组 \(Ax=0\) 的基础解系，则 \(Ax=b\) 的通解可以表示为

\[x= \alpha_0 + c_1\eta_1 + c_2\eta_2 + \cdots + c_{n-r}\eta_{n-r}. \]

其中 \(c_1,c_2,\cdots,c_{n-r}\) 为任意常数.

方阵的特征值与特征向量

方阵的特征值与特征向量的定义

设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵， \(\alpha\) 为 \(n\) 维非零列向量，\(\lambda\) 为数，若

\[A\alpha = \lambda \alpha \]

则称 \(\lambda\) 为 \(A\) 的特征值，\(\alpha\) 为 \(A\) 对应特征值 \(\lambda\) 的特征向量.

\(\lambda\) 可以为 \(0\)，但 \(\alpha\) 不能为 \(0\).

方阵的特征值与特征向量的性质

• 给定方阵 \(A\)，特征向量 \(\alpha\) 只能属于一个特征值.

• \(n\) 阶矩阵 \(A\) 在复数域必有 \(n\) 个特征值.

• 设 \(n\) 阶矩阵 \(A=(a_{ij})\) 的 \(n\) 个特征值为 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)，则

\[\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}. \]

\[\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=|A|. \]

其中 \(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}\) 称为 \(A\) 的迹，记作 \(tr(A)\).

• \(A\) 可逆 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 的所有特征值都不等于 \(0\).

• \(A\) 不可逆 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 的所有特征值中至少有一个等于 \(0\).

• 若 \(\lambda\) 为矩阵 \(A\) 的特征值，则 \(f(A)\) 的特征值 \(=\) \(f(\lambda)\).

• 若 \(\lambda\) 为矩阵 \(A\) 的特征值，则 \(A^{-1}\) 的特征值 \(=\) \(\frac{1}{\lambda}\).

• 若 \(\lambda\) 为矩阵 \(A\) 的特征值，则 \(A^*\) 的特征值 \(=\) \(\frac{|A|}{\lambda}\).

• 若 \(\lambda\) 为矩阵 \(A\) 的特征值，\(f(A)=0\)，则 \(f(\lambda)=0\).

• 若 \(r(A)=1\)，则 \(\lambda_1=tr(A)\)，其余为 \(0\).

特征值的求法

\[A\alpha =\lambda \alpha \Rightarrow (\lambda E-A)\alpha=0 \]

这是齐次线性方程组，\(\alpha \ne 0\)，因此 \(|\lambda E-A|=0\).

记 \(\lambda E-A\) 为特征矩阵，\(f(\lambda)=|\lambda E-A|\) 为特征多项式，\(|\lambda E-A|=0\) 为特征方程.

求解特征方程的解即可.

相似矩阵

相似矩阵的定义

设 \(A\) 和 \(B\) 都是 \(n\) 阶方阵，若存在可逆矩阵 \(P\)，使得

\[P^{-1}AP=B \]

则称 \(A\) 与 \(B\) 相似.

特别地，如果 \(A\) 能与对角形矩阵相似，则称 \(A\) 可对角化.

相似矩阵的性质

• 若 \(A\sim B\)，则 \(A\) 和 \(B\) 的特征值相同.

• 若 \(A\) 与对角形矩阵相似，则 \(A\) 的特征值就是该对角形矩阵主对角线上的元素.

• 若 \(A\sim B\)，则 \(A^{-1}\sim B^{-1}\)，\(A^* \sim B^*\)，\(A^m \sim B^m\)，\(f(A)\sim f(B)\).

矩阵的对角化

• \(n\) 阶矩阵 \(A\) 可对角化 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量，且

\(P=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\)，\(P^{-1}AP=\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1\\&\lambda_2\\&&\ddots\\&&&\lambda_n\end{pmatrix}\).

• 若 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 有 \(n\) 个互异的特征值，则 \(A\) 可对角化.

• 若 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 可对角化 \(\Leftrightarrow A\) 的每个重特征根对应的线性无关特征向量的个数等于特征根的重数.