第六届辽宁省大学生程序设计竞赛 B题思路分享（数论，构造，欧拉定理）

题意概述

给定一个键盘，有 \(0,1,\cdots,9\) 的数字按键，其中有 \(k\) 个不可用，保证按键 \(0\) 可用。给出一种构造方案使得按出的数为 \(m\) 的倍数，如果不存在输出 \(-1\)。

\(1\le m \le 10^7\)。

思路

要让按出的数是 \(m\) 的倍数，本质就是凑出 \(m\) 的所有质因数。

可以无限制地在末尾添加 \(0\)，相当于 \(2\) 和 \(5\) 的因子是无限的，为方便讨论，删掉 \(m\) 中所有 \(2\) 和 \(5\) 的因子。

删完之后，\(\gcd(m,10)=1\)，根据欧拉定理，得：

\[10^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m \]

即：

\[m \mid \underbrace{99\cdots 9}_{\varphi(m) \text{个}} \]

将 \(9m\) 带入，得：

\[9m \mid \underbrace{99\cdots 9}_{\varphi(9m) \text{个}} \]

即：

\[m \mid \underbrace{11\cdots 1}_{\varphi(9m) \text{个}} \]

因此可以按 \(\varphi(9m)\) 次相同任意按键，最后补上足够多 \(0\) 即可，当只有按键 \(0\) 的时候无解。

考虑到空间限制，可能无法预处理所有欧拉函数值，采取求单个欧拉函数的方法。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(T \sqrt{m})\)。

代码

//author:kzssCCC

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;


void solve(){
	int m,k;
	cin >> m >> k;

	vector<bool> use(10,true);
	for (int i=1;i<=k;i++){
		int v;
		cin >> v;
		use[v] = false;
	}

	int v = -1;
	for (int i=1;i<=9;i++){
		if (use[i]){
			v = i;
			break;
		}
	}
	if (v==-1){
		cout << -1 << '\n';
		return;
	}

	while (m%5==0){
		m/=5;
	}
	while (m%2==0){
		m/=2;
	}

	auto cal = [&](ll x){
		ll res = x;
		for (ll i=2;i*i<=x;i++){
			if (x%i==0){
				while (x%i==0){
					x/=i;
				}
				res -= res/i;
			}
		}

		if (x>1){
			res -= res/x;
		}

		return res;
	};

	cout << 2 << '\n';
	cout << v << ' ' << cal(9*m) << '\n';
	cout << 0 << ' ' << (ll)1e8 << '\n';
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	
	int t;
	cin >> t;
	while (t--) solve();

	return 0;
}