洛谷P2765 思路分享（网络流，最小路径覆盖）

https://www.luogu.com.cn/problem/P2765

题意概述

有 \(n\) 根柱子，依次放编号为 $1,2,\cdots $ 的球，每次只能在一根柱子的最上方放球，同一根柱子任意相邻两个球的编号之和必须是完全平方数。

求最多能放多少个球，并构造方案。

思路

考虑用有向边刻画同一根柱子的约束关系，如果 \(u\lt v\)，且 \(u+v\) 是完全平方数，连 \(u\) 到 \(v\) 的边，建出是 \(DAG\)。可以发现，这是路径覆盖问题。

考虑二分答案，记球的数量为 \(V\)，只需要判断最小路径覆盖是否 \(\le n\) 即可。

求最小路径覆盖是个经典问题，具体做法是，把每个点拆成出点和入点，对原图中的边 \(u\)->\(v\)，将 \(u\) 的出点连 \(v\) 的入点，然后求最大匹配即可。最小路径覆盖 \(=\) 顶点数 \(-\) 最大匹配。

直觉来看，二分的上界不会太大，同时边的数量也较少，姑且取 \(V^2\) 不会超时的值。代码中取了 \(5005\)。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(K^2 \log K)\)，\(K\) 是二分的上界。建图是 \(\mathcal{O}(V^2)\)，边数大概是 \(V\sqrt{V}\)，所以 \(dinic\) 求最大匹配是 \(\mathcal{O}(V^2)\)，单次二分就是 \(\mathcal{O}(V^2)\)。

代码

//author:kzssCCC

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

class dinic{
public:
	const ll INF = 9e18;
	int n,s,t;
	vector<vector<array<ll,4>>> adj;
	ll mxf;
	vector<int> cur,depth;

	dinic(int _n,int _s,int _t){
		n = _n;
		s = _s;
		t = _t;
		adj = vector<vector<array<ll,4>>>(n+1);
	}

	void add(int u,int v,ll w){
		adj[u].push_back({w,1,(int)adj[v].size(),v});
		adj[v].push_back({0,0,(int)adj[u].size()-1,u});
	}

	bool bfs(){
		depth = vector<int>(n+1,-1);
		queue<int> q;
		depth[s] = 0;
		q.push(s);

		while (!q.empty()){
			int u = q.front();
			q.pop();

			for (auto& [w,flag,rev,v]:adj[u]){
				if (w>0 && depth[v]==-1){
					depth[v] = depth[u]+1;
					q.push(v);
				}
			}
		}

		return depth[t]!=-1;
	}

	ll dfs(int u,ll mf){
		if (u==t) return mf;
		ll sum = 0;
		int len = adj[u].size();

		for (int& i=cur[u];i<len;i++){
			auto& [w,flag,rev,v] = adj[u][i];
			if (w>0 && depth[v]==depth[u]+1){
				ll f = dfs(v,min(mf,w));
				sum += f;
				mf -= f;
				w -= f;
				adj[v][rev][0] += f;

				if (mf==0) break;
			}
		}

		return sum;
	}

	void work(){
		mxf = 0;
		while (bfs()){
			cur = vector<int>(n+1);
			mxf += dfs(s,INF);
		}
	}
};

const ll INF = 9e18;

void solve(){
	int n;
	cin >> n;

	auto pd = [&](int x){
		int f1 = (int)sqrt(x);
		int f2 = ceil(sqrt(x));

		return f1*f1==x || f2*f2==x;
	};

	auto check = [&](int mid)->vector<vector<int>>{
		int N = mid*2+2;
		int s = N-1;
		int t = N;
		dinic dn(N,s,t);

		for (int i=1;i<=mid;i++){	
			for (int j=i+1;j<=mid;j++){
				if (pd(i+j)){
					dn.add(i,j+mid,1);
				}
			}
			dn.add(s,i,1);
			dn.add(i+mid,t,1);
		}

		dn.work();
		if (mid-dn.mxf>n){
			return {};
		}

		vector<int> next(mid+1,-1),ing(mid+1);
		for (int u=1;u<=mid;u++){
			for (auto& [w,flag,rev,v]:dn.adj[u]){
				if (flag==1 && w==0){
					next[u] = v-mid;
					ing[v-mid]++;
				}
			}
		}

		int x = 1;
		vector<vector<int>> res(n+1);
		vector<bool> vis(mid+1,false);

		for (int i=1;i<=mid;i++){
			if (!vis[i] && ing[i]==0){
				int u = i;
				while (u!=-1){
					vis[u] = true;
					res[x].push_back(u);
					u = next[u];
				}

				x++;
			}
		}

		int y = 1;
		while (x<=n){
			while (res[y].size()==1){
				y++;
			}	

			res[x++].push_back(res[y].back());
			res[y].pop_back();			
		}

		return res;
	};

	int l=1,r=5005;
	while (l<=r){
		int mid = l+(r-l>>1);
		if (!check(mid).empty()){
			l = mid+1;
		}
		else{
			r = mid-1;
		}
	}

	int mx = r;
	auto res = check(mx);
	cout << mx << '\n';

	for (int i=1;i<=n;i++){
		for (auto& v:res[i]){
			cout << v << ' ';
		}
		cout << '\n';
	}
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	
	int t = 1;
	// cin >> t;
	while (t--) solve();

	return 0;
}