2026“钉耙编程”中国大学生算法设计春季联赛（8）1007思路分享（期望）

题意概述

给定 \(n\) 个区间，实数序列 \(a_i\) 在区间 \([l_i,r_i]\) 上服从均匀分布，每个元素生成相互独立，求：

\[\sum_{i=2}^{n}{\left|a_i-a_{i-1} \right|} \]

的期望，模 \(10^9+7\)。

思路

如果两区间不交，期望为两区间中点之差的绝对值。

如果两区间完全相同，将区间分成两半，有 \(1/2\) 概率两个点不属于同一个区间，这样就是两区间不交的情况；有 \(1/2\) 概率两个点属于同一区间，那这个问题和原问题是等价的，递归计算即可。此时期望为：

\[len \cdot \sum_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{4^i}} = \frac{len}{3} \]

如果两区间不完全相同又有交，则可以分裂成若干区间，这些区间之间要么完全相同，要么不交，独立计算贡献即可。

但要注意，需要特判常数点。

代码中采用递归实现情况三的区间分裂，最多只会递归 \(1\) 次。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n)\)。

代码

//author:kzssCCC

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const int MOD = 1e9+7;

ll qpow(ll a,ll b){
	ll res = 1;
	while (b){
		if (b&1){
			res = res*a%MOD;
		}

		a = a*a%MOD;
		b >>= 1;
	}
	
	return res;
}
void solve(){
	int n;
	cin >> n;

	vector<pair<int,int>> a(n+1);
	for (int i=1;i<=n;i++){
		cin >> a[i].first >> a[i].second;
	}

	ll t2 = qpow(2,MOD-2);
	ll t3 = qpow(3,MOD-2);

	function<ll(int,int,int,int)> cal = [&](int l1,int r1,int l2,int r2)->ll{
		if (l1>l2){
			swap(l1,l2);
			swap(r1,r2);
		}

		if (l1==r1 && l2==r2){
			return abs(r1-r2);		
		}
		else if (l1==r1){
			ll p = (l2+r2)*t2%MOD;
			return (p-r1+MOD)%MOD;
		}
		else if (l2==r2){
			if (r2>=r1){
				ll p = (l1+r1)*t2%MOD;
				return (r2-p+MOD)%MOD;
			}	
			else{
				ll p1 = (l1+r2)*t2%MOD;
				ll p2 = (r2+r1)*t2%MOD;

				ll temp = qpow(r1-l1,MOD-2);

				return ((r2-l1)*temp%MOD*((r2-p1+MOD)%MOD)%MOD+(r1-r2)*temp%MOD*((p2-r2+MOD)%MOD)%MOD)%MOD;
			}
		}

		if (r1<=l2){
			ll p1 = (l1+r1)*t2%MOD; 
			ll p2 = (l2+r2)*t2%MOD;
			return (p2-p1+MOD)%MOD; 
		}
		if (l1==l2 && r1==r2){
			return (r1-l1)*t3%MOD; 
		}

		int l = max(l1,l2);
		int r = min(r1,r2);
		vector<pair<int,int>> left,right;

		if (l1!=l) left.emplace_back(l1,l);
		left.emplace_back(l,r);
		if (r!=r1) left.emplace_back(r,r1);

		if (l2!=l) right.emplace_back(l2,l);
		right.emplace_back(l,r);
		if (r!=r2) right.emplace_back(r,r2);

		ll res = 0;
		for (int i=0;i<left.size();i++){
			for (int j=0;j<right.size();j++){
				res = (res+(left[i].second-left[i].first)*qpow(r1-l1,MOD-2)%MOD*(right[j].second-right[j].first)%MOD*qpow(r2-l2,MOD-2)%MOD*cal(left[i].first,left[i].second,right[j].first,right[j].second)%MOD)%MOD;
			}
		}

		return res;
	};

	ll res = 0;
	for (int i=2;i<=n;i++){
		res = (res+cal(a[i-1].first,a[i-1].second,a[i].first,a[i].second))%MOD;
	}

	cout << res << '\n';
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	
	int t;
	cin >> t;
	while (t--) solve();

	return 0;
}