2024 CCPC 河北省大学生程序设计竞赛 D题思路分享（dp，组合计数）

题意概述

一个字符串是优美的当且仅当：长度为 \(4\)，第 \(1,2,4\) 个字符相同，第 \(3\) 个字符与其他不同。

给定一个长度为 \(n\)，仅由 \(c\) 和 \(p\) 构成的字符串 \(s\) ，可以花费 \(1\) 元交换两个相邻位置。

求恰好花费 \(m\) 元，得到的字符串中优美子序列的最大值。

\(1\le n,m \le 500\)。

思路

考虑 \(dp\)，分析需要哪些状态。

优美字符串为 \(ccpc\) 或 \(ppcp\)。

对于每个 \(c\)，假设它之前有 \(j\) 个 \(p\)，总共有 \(cp\) 个 \(p\)，贡献为 \(j \times(j-1)/2\times(cp-j)\)，这样构成 \(ppcp\)。对于 \(c\) 同理。

因此需要存之前有多少个 \(p\)。

假设初始字符串所有 \(p\) 的位置为 \(a_1,a_2\cdots a_{cp}\)，最终字符串所有 \(p\) 的位置为 \(b_1,b_2,\cdots b_{cp}\)，最少交换次数为 \(\sum_{i=1}^{cp}{|a_i-b_i|}\)，记为 \(k\) 。

如果交换完钱还多，可以重复交换两次任意相邻元素，因此 \(k\) 需要满足 \(k \le m\)，同时奇偶性相同。

第三维存 \(k\)，每次转移讨论选 \(c\) 还是 \(p\)。

记 \(dp[i][j][k]\) 表示枚举到第 \(i\) 位，前面有 \(j\) 个 \(p\)，最少交换次数为 \(k\)，对应的最大答案。

• 第 \(i\) 位选 \(c\)，\(j\) 和 \(k\) 都不变。

• 第 \(i\) 位选 \(p\)，\(j\) 增加 \(1\)，\(k\) 增加 \(s\) 中第 \(j+1\) 位 \(p\) 的位置与 \(i\) 的绝对值。这是可以预处理的。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n^2m)\)。

代码

//author:kzssCCC

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const ll INF = 9e18;

void solve(){
	string s;
	cin >> s;

	int n = s.size();
	int m;
	cin >> m;

	s = ' '+s;
	int cc = count(s.begin()+1,s.end(),'c');
	int cp = n-cc;

	vector<int> pos(cp+1);
	int tot = 1;
	for (int i=1;i<=n;i++){	
		if (s[i]=='p'){
			pos[tot++] = i;
		}
	}

	vector<vector<vector<ll>>> dp(n+1,vector<vector<ll>>(cp+1,vector<ll>(m+1,-INF)));
	dp[0][0][0] = 0;

	for (int i=1;i<=n;i++){
		for (int j=0;j<=cp;j++){
			for (int k=0;k<=m;k++){
				if (dp[i-1][j][k]==-INF) continue;

				dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k],dp[i-1][j][k]+(ll)j*(j-1)/2*(cp-j));

				if (j+1<=cp){
					int nk = k+abs(pos[j+1]-i);
					if (nk<=m){
						dp[i][j+1][nk] = max(dp[i][j+1][nk],dp[i-1][j][k]+(i-1ll-j)*(i-2ll-j)/2*(cc-(i-1-j)));
					}
				}
			}
		}
	}

	ll res = 0;
	for (int k=0;k<=m;k++){
		if (dp[n][cp][k]!=-INF && (k&1)==(m&1)){
			res = max(res,dp[n][cp][k]);
		}
	}

	cout << res << '\n';
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	
	int t = 1;
	// cin >> t;
	while (t--) solve();

	return 0;
}