2024 CCPC 河北省大学生程序设计竞赛 F题思路分享（竞赛图，构造）

题意概述

给定一个 \(n\) 个节点的竞赛图，需要把所有点划分成三个集合 \(A,B,C\)，满足:

• 若 \(x \in A,y \in B\) ，则边方向为 \(x\) 到 \(y\) 。

• 若 \(x \in B,y \in C\) ，则边方向为 \(x\) 到 \(y\) 。

• 若 \(x \in C,y \in A\) ，则边方向为 \(x\) 到 \(y\) 。

\(3 \le n \le 500\) 。

思路

如果存在合法的方案，该方案唯一。假设当前分组方案合法，除了所有元素都循环移动一组，其他移动均不合法，而循环移动相当于没有移动，因此方案唯一。

得到这个性质后，就可以比较随意地构造了。

先找到一个三元组 \(x,y,z\) ，满足 \(x\)->\(y\)->\(z\)->\(x\) ，将 \(x,y,z\) 分别分配到 \(1,2,3\) 号组。枚举所有元素，尝试加入其中一个组，因为方案唯一，可加入的组最多只有一个。如果没有组可以加入，考虑调整已加入元素。

此时唯一的调整方案为把三组合并成一组。合并之后，枚举剩下的元素，找到一个合法二元组 \(a,b\) 分别填充到第 \(2\) 组和第 \(3\) 组，如果找不到则无解。回退一位重新判断本位元素即可。

因为方案唯一，当发现某元素加不进去的时候，当前方案一定是错的，因此尝试重构是正确的。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n^3)\) 。

代码

//author:kzssCCC

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;


void solve(){
	int n;
	cin >> n;

	vector<vector<int>> a(n+1,vector<int>(n+1));
	for (int i=1;i<=n;i++){
		for (int j=i+1;j<=n;j++){
			cin >> a[i][j];
		}
	}

	for (int i=1;i<=n;i++){
		for (int j=1;j<i;j++){
			a[i][j] = a[j][i]^1;
		}
	}

	vector<bool> vis(n+1,false);
	bool ok = false;

	vector<vector<int>> res(4);

	for (int i=1;i<=n;i++){
		for (int j=1;j<=n;j++){
			if (j==i) continue;

			for (int k=1;k<=n;k++){
				if (k==i || k==j) continue;

				if (a[i][j]==1 && a[j][k]==1 && a[k][i]==1){
					ok = true;
					vis[i] = vis[j] = vis[k] = true;
					res[1].push_back(i);
					res[2].push_back(j);
					res[3].push_back(k);
					break;
				}
			}
			if (ok) break;
		}
		if (ok) break;
	}

	if (!ok){
		cout << "0 0 0" << '\n';
		return;
	}

	for (int i=1;i<=n;i++){
		if (vis[i]) continue;
		
		bool ok2 = false;

		for (int j=1;j<=3;j++){
			bool ok3 = true;

			for (auto& d:{-1,1}){
				for (auto& v:res[(j+d-1+3)%3+1]){
					if (d==1 && a[i][v]==0 || d==-1 && a[v][i]==0){
						ok3 = false;
						break;
					}
				}
				if (!ok3) break;
			}

			if (ok3){
				ok2 = true;
				res[j].push_back(i);
				break;
			}
		}		

		if (!ok2){
			for (auto& v:res[2]){
				res[1].push_back(v);
			}
			for (auto& v:res[3]){
				res[1].push_back(v);
			}
			res[2].clear();
			res[3].clear();

			bool ok3 = false;
			for (int p=i;p<=n;p++){
				if (vis[p]) continue;

				for (int q=i;q<=n;q++){
					if (vis[q] || p==q || a[p][q]!=1) continue;

					bool ok4 = true;
					for (auto& v:res[1]){
						if (!(a[v][p]==1 && a[p][q]==1 && a[q][v]==1)){
							ok4 = false;
							break;
						}
					}

					if (ok4){
						vis[p] = vis[q] = true;
						res[2].push_back(p);
						res[3].push_back(q);

						ok3 = true;
						break;
					}
				}
				if (ok3){
					break;
				}
			}

			if (!ok3){
				cout << "0 0 0" << '\n';
				return;
			}	

			i--;		
		}
	}

	for (int j=1;j<=3;j++){
		cout << res[j].size() << ' ';
	}
	cout << '\n';

	for (int j=1;j<=3;j++){
		for (auto& v:res[j]){
			cout << v << ' ';
		}
		cout << '\n';
	}
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	
	int t = 1;
	// cin >> t;
	while (t--) solve();

	return 0;
}