拓展中国剩余定理

https://www.luogu.com.cn/problem/P4777

题意概述：给定一组同余方程：

\[x \equiv t_i \pmod {s_i} \]

求方程的最小非负整数解，注意不保证所有 \(s_i\) 互质。

考虑从 \(res = px + q\) 到 \(res = s_iy+t_i\) 的拓展：

两式相减，整理得到 \(px - s_iy = t_i - q\)。

注意到这是一个丢番图方程，令 \(a = p，b = s_i，c = t_i - q，d = gcd(a,b)\)，（注意如果 \(c\) 不是 \(d\) 的倍数方程无解），使用拓展欧几里得算法求得一个特解 \(x'\)，模 \(b/d\) 调整成最小非负解。

那么通解 \(x = x' + k \cdot (b/d)\)，\(k\) 是任意整数，带入 \(res = px + q\)，得:

\[res = (b/d) \cdot p \cdot k + p \cdot x' + q \]

这里 \(k\) 是变量，故 \(p\)，\(q\) 迭代成 $ (b/d) \cdot p $ ，$ p \cdot x' + q $。

最后 \(q\) 就是最小非负整数解。

实现上注意开 i128，同时迭代后 \(q\) 对 \(p\) 取模。

//author:kzssCCC

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
using i128 = __int128;

void solve(){
	int n;
	cin >> n;

	vector<ll> s(n+1),t(n+1);
	for (int i=1;i<=n;i++){
		cin >> s[i] >> t[i];
	}

	ll p=1,q=0;

	for (int i=1;i<=n;i++){
		ll a = p;
		ll b = s[i];
		ll c = t[i]-q;
		ll d = __gcd(a,b);

		ll x,y;
		function<void(ll,ll)> exgcd = [&](ll a,ll b){
			if (b==0){
				x = 1;
				y = 0;
			}
			else{
				exgcd(b,a%b);
				ll tx = x;
				ll ty = y;

				x = ty;
				y = tx-a/b*ty;
			}
		};

		exgcd(a,b);
		x = (i128)x*(c/d)%(b/d);
		x = ((i128)x+b/d)%(b/d);

		ll np = b/d*p;
		ll nq = ((i128)p*x%np+q)%np;

		p = np;
		q = nq;
	}

	cout << q << '\n';
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	
	int t = 1;
	// cin >> t;
	while (t--) solve();

	return 0;
}