数据结构选做

• \(\texttt{SP16549 QTREE6 - Query on a tree VI}\)

  \(trick:\) 将每个点的颜色信息转到父边上去。

  考虑对黑白两色分别开一棵 \(LCT\)，对于每个点 \(u\)，在 \(col(u)\) 那棵 \(LCT\) \(link(u,fa(u))\)，于是就可以通过维护虚子树维护答案了。

  \(\texttt{ac记录}\)

• \(\texttt{CF765F Souvenirs}\)

  先把询问离线下来，按 \(r\) 从小到大排序，考虑每一个可能的左端点：（只考虑 \(a_l \ge a_r\) ，反之同理）

  记左边第一个满足 \(a_l \ge a_r\) 的点，记 \(d = a_l - a_r\) ，则对 \([1,l]\) 做前缀 \(chkmin\) 操作，这可以树状数组维护；

  接着考虑下一个可能的点，可以发现，若 \(a_{l'} \ge a_{r'}\) 或 \(a_{l} - a_{l'} \le a_{l'} - a_r\)，则 \(l'\) 不可能更新答案，因此，每一个合法的 \(l\) 会使得 \(d=a_l - a_r\) 至少除以二，因此只会更新至多 \(\log\) 次，开棵权值线段树维护即可，时间复杂度 \(O(n \log ^2 n)\) 。

  \(\texttt{ac记录}\)

• \(\texttt{CF319E Ping-Pong}\)

  交叉的线段之间的边是双向边，可以用并查集维护。

  由于线段长度严格单调递增，只会出现后面的线段包含前面的线段的情况，因此直接用线段树去连边，并查集的正确性可以保证。

  对于包含的线段，由于 \(a\in b, b\in c \longrightarrow a\in c\) ，这种单向边最多只走一条，直接最后 \(check\) 一下即可。

  时间复杂度 \(\mathrm{O(n \alpha (n)\log n)}\) 。

  \(\texttt{ac记录}\)

• \(\texttt{CF526F Pudding Monsters}\)

  由于每行每列只有一个点，可以将所有的 \((x,y)\) 映射成一个排列 \(p[x]=y\) ，那么一个大小为 \(k\) 的合法子矩阵满足：

  \[\max - \min + 1 = k \]

  考虑计算每个 \(r\) 的贡献，则合法的 \(l\) 满足 \(\max - \min + l = r\)，由于 \([r,r]\) 必然合法，并且 \(\max - \min + l \ge r\)，则有贡献的 \(l\) 满足

  \[\max - \min + l = \min\limits_{i=1}^{r}(\max - \min + i) \]

  用线段树维护区间最小值的个数即可，时间复杂度 \(\mathrm{O(n\log n)}\) 。

  \(\texttt{ac记录}\)

• \(\texttt{CF453E Little Pony and Lord Tirek}\)

  将每个位置最近一次被查询的时间记作该位置的颜色，则每次查询最多只会使得序列颜色段数 \(+2\)，并且每查询一段就会使整个序列的颜色段数 \(-1\)，均摊下来查询的颜色段数是 \(O(1)\) 的，可以直接暴力。

  考虑一个颜色段怎么做，对于每只🐎，可以知道她魔力溢出所需的最小时间，开一棵主席树搞搞即可。

  时间复杂度 \(\mathrm{O(m\log n)}\)。

  \(\texttt{ac记录}\)

• \(\texttt{[Ynoi2012] NOIP2016 人生巅峰}\)

  长度为 \(len\) 的区间的非空子集数为 \(2^{len} - 1\)，观察到 \(v\le 1000\)，那么区间总和至多为 \(1000len\)，根据鸽巢原理，当 \(2^{len}-1\ge 1000len\) 时一定有权值和相同的集合，解得 \(len \ge 14\)，那么只用考虑 \(len \le 13\) 的情况。（权值和相同的集合去掉交集也是相同的，不用再考虑 “\(X,Y\) 没有交集” 这个限制。）

  \(len\le 13\) 的情况直接 \(bitset\) 优化背包即可。修改用树状数组记录修改次数，查询倍增即可。

  \(\texttt{ac记录}\)