网络流

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https://www.luogu.com.cn/blog/command-block/wang-lao-liu-xiang-guan-bi-ji

最小割建模

• \(\texttt{[国家集训队]圈地计划}\)

黑白染色，然后就变成了套路题。

• \(\texttt{[SCOI2012]奇怪的游戏}\)

首先将原图黑白染色，记黑色点数量为 \(b\)，点权和为 \(B\) ，白色点数量为 \(w\)，点权和为 \(W\)，最终所有的数都变为 \(x\)。

那么需要的操作数为 \(b * x - B = w * x - W\)，移项得到 \(x = \dfrac {B - W} {b - w}\)。

若 \(b \neq w\)，\(x\) 可以直接计算出来；

若 \(b = w\)，那么 \(n,m\) 必有至少一个为偶数，这种情况下，显然 \(x\) 会有单调性（考虑 \(x+1\) 时在原方案下两两匹配），二分这个 \(x\) 即可。

闭合子图建模

• \(\texttt{[ARC085C] MUL}\)

板子题，每个编号的宝石向它的倍数编号连边，边数 \(O(n \ln n)\)，然后就变成了求最大权闭合子图。

具体做法是源点向正权点连流量为点权的边，原图的边流量设为 inf，负权点向汇点连容量为 |点权| 的边，答案即为正权点点权和减去最小 \(S-T\) 割。

• \(\texttt{[NOI2006]最大获利}\)

板子题，同上。

匹配问题

• \(\texttt{CF628F Bear and Fair Set}\)

将限制按 \(u\) 排序，则 \((u_{i-1},u_i]\) 中恰好有 \(t_i - t_{i-1}\) 个数，连边匹配即可。

有上下界的网络流

• \(\texttt{无源汇有上下界可行流}\)

首先将每条边的初始流量设置为下界，原图的边流量设为上界-下界，这样有些点的流量是不平衡的，需要调整。

考虑新建超级源点 \(s\) 和超级汇点 \(t\)，对于每个点：

若 \(in(i) > out(i)\) ，则连一条 \(s \longrightarrow i\)，容量为 \(in(i) - out(i)\) 的边；

若 \(in(i) < out(i)\) ，则连一条 \(i \longrightarrow t\)，容量为 \(out(i) - in(i)\) 的边。

跑 \(s \longrightarrow t\) 的最大流看是否等于 \(s\) 的出边总流量即可判断是否有可行流。

• \(\texttt{有源汇有上下界最大流}\)

连一条 \(t \longrightarrow s\)，容量为 \(inf\) 的边，则变成了无源汇问题。

先跑出可行流，然后加上残量网络上 \(s \longrightarrow t\) 的最大流即可。

• \(\texttt{有源汇有上下界最小流}\)

和最大流一样，最后减去残量网络上 \(t \longrightarrow s\) 的最大流即可。

• \(\texttt{CF704D Captain America}\)

咕

• \(\texttt{「AHOI2014」支线剧情}\)

  每条边费用为 \(T\)，流量设置为 \([1,inf]\)，问题就变成了有源汇上下界最小费用可行流。

有负圈的费用流

• \(\texttt{P7173 【模板】有负圈的费用流}\)

  考虑先将负权边流满，转化为上下界网络流问题。

  具体地说，将原图的边 \((u,v,cap,c)(c<0)\) 替换成 \((u,v,[cap,cap],c)\) 和 \((v,u,[0,cap],-c)\)，然后跑有源汇上下界网络流即可。