一些常见/不常见的结论

rt，会放一下我遇到的一些结论和对应的例题。（之后有时间会大幅度更新）

有题的话感觉还是写这里好一点：https://www.cnblogs.com/kkxacj/p/18956258

P3576 [POI 2014] MRO-Ant colony

$\left \lfloor \frac{\left \lfloor \frac{\left \lfloor \frac{a}{b}\right \rfloor}{c}\right \rfloor}{...}\right \rfloor = \left \lfloor \frac{a}{\left(b\times c\times ...\right)}\right \rfloor $。

当然里面的数都要是整数，这个很好证明，考虑把右边也对着左边的形式罗列出来，因为 \(-1 < \frac{a}{b} - \left \lfloor \frac{a}{b}\right \rfloor < 1\)，所以每一层大小相差不到一，所以不会有任何影响。

遇到一个很神秘的，就是：

在线段树上，区间 \(\left(1,i\right) (1\le i\le n)\) 在线段树上拆出来总和是 \(O\left(n\right)\) 的。

证明是容易的，考虑由于是前缀，肯定是每次选一个最大的二进制区间给它，注意其实就是二进制下 \(1\) 的个数。

对于第一位为 \(1\) 的，有大概 \(\frac{n}{2}\) 个，第二位有大概 \(\frac{n}{4}\) 个，依次类推，所以就是 \(\frac{n}{2}+\frac{n}{4}+\frac{n}{8}+...\)，这个是大概为 \(n\) 的，证明可以考虑 \(n\) 减去这个还剩多少，注意其实就是每次除二。